Sistemi di controllo - Grafici di Nyquist

I grafici di Nyquist sono la continuazione dei grafici polari per trovare la stabilità dei sistemi di controllo ad anello chiuso variando ω da −∞ a ∞. Ciò significa che i grafici di Nyquist vengono utilizzati per disegnare la risposta in frequenza completa della funzione di trasferimento ad anello aperto.

Criterio di stabilità di Nyquist

Il criterio di stabilità di Nyquist funziona su principle of argument. Afferma che se ci sono P poli e Z zeri sono racchiusi dal percorso chiuso del piano 's', allora il corrispondente piano $ G (s) H (s) $ deve circondare l'origine $ P - Z $ volte. Quindi, possiamo scrivere il numero di accerchiamenti N come,

$$ N = PZ $$

  • Se il percorso chiuso del piano s 'racchiuso contiene solo poli, la direzione dell'accerchiamento nel piano $ G (s) H (s) $ sarà opposta alla direzione del percorso chiuso chiuso nel piano' s '.

  • Se il percorso chiuso del piano 's' racchiuso contiene solo zeri, la direzione dell'accerchiamento nel piano $ G (s) H (s) $ sarà nella stessa direzione di quella del percorso chiuso chiuso nella 's' aereo.

Applichiamo ora il principio dell'argomento all'intera metà destra del piano "s" selezionandolo come un percorso chiuso. Questo percorso selezionato è chiamatoNyquist contorno.

Sappiamo che il sistema di controllo ad anello chiuso è stabile se tutti i poli della funzione di trasferimento ad anello chiuso sono nella metà sinistra del piano 's'. Quindi, i poli della funzione di trasferimento ad anello chiuso non sono altro che le radici dell'equazione caratteristica. Man mano che l'ordine dell'equazione caratteristica aumenta, è difficile trovare le radici. Quindi correliamo queste radici dell'equazione caratteristica come segue.

  • I poli dell'equazione caratteristica sono gli stessi dei poli della funzione di trasferimento ad anello aperto.

  • Gli zeri dell'equazione caratteristica sono gli stessi dei poli della funzione di trasferimento ad anello chiuso.

Sappiamo che il sistema di controllo ad anello aperto è stabile se non c'è un polo ad anello aperto nella metà destra del piano 's'.

cioè $ P = 0 \ Rightarrow N = -Z $

Sappiamo che il sistema di controllo ad anello chiuso è stabile se non c'è un polo ad anello chiuso nella metà destra del piano "s".

cioè $ Z = 0 \ Rightarrow N = P $

Nyquist stability criterionafferma che il numero di accerchiamenti attorno al punto critico (1 + j0) deve essere uguale ai poli dell'equazione caratteristica, che non è altro che i poli della funzione di trasferimento ad anello aperto nella metà destra del piano "s". Lo spostamento dell'origine a (1 + j0) fornisce il piano dell'equazione caratteristico.

Regole per disegnare grafici di Nyquist

Segui queste regole per tracciare le trame di Nyquist.

  • Individuare i poli e gli zeri della funzione di trasferimento ad anello aperto $ G (s) H (s) $ nel piano 's'.

  • Disegna il grafico polare variando $ \ omega $ da zero a infinito. Se polo o zero presente in s = 0, allora variando $ \ omega $ da 0+ a infinito per disegnare il grafico polare.

  • Disegna l'immagine speculare del grafico polare sopra per valori di $ \ omega $ che vanno da −∞ a zero (0 - se qualsiasi polo o zero presente in s = 0).

  • Il numero di semicerchi a raggio infinito sarà uguale al numero di poli o zeri all'origine. Il semicerchio del raggio infinito inizierà nel punto in cui termina l'immagine speculare del diagramma polare. E questo semicerchio con raggio infinito terminerà nel punto in cui inizia il diagramma polare.

Dopo aver disegnato il grafico di Nyquist, possiamo trovare la stabilità del sistema di controllo a circuito chiuso utilizzando il criterio di stabilità di Nyquist. Se il punto critico (-1 + j0) si trova al di fuori dell'accerchiamento, il sistema di controllo a circuito chiuso è assolutamente stabile.

Analisi di stabilità utilizzando grafici di Nyquist

Dai grafici di Nyquist, possiamo identificare se il sistema di controllo è stabile, marginalmente stabile o instabile in base ai valori di questi parametri.

  • Guadagna frequenza di crossover e frequenza di crossover di fase
  • Guadagna margine e margine di fase

Phase Cross over Frequency

La frequenza alla quale il grafico di Nyquist interseca l'asse reale negativo (l'angolo di fase è 180 0 ) è nota comephase cross over frequency. È indicato con $ \ omega_ {pc} $.

Guadagna frequenza incrociata

La frequenza con cui il diagramma di Nyquist ha la grandezza di uno è nota come gain cross over frequency. È indicato con $ \ omega_ {gc} $.

Di seguito è elencata la stabilità del sistema di controllo basato sulla relazione tra la frequenza di crossover di fase e la frequenza di crossover del guadagno.

  • Se la frequenza di cross over di fase $ \ omega_ {pc} $ è maggiore della frequenza di cross over del guadagno $ \ omega_ {gc} $, allora il sistema di controllo è stable.

  • Se la frequenza di cross over di fase $ \ omega_ {pc} $ è uguale alla frequenza di cross over del guadagno $ \ omega_ {gc} $, il sistema di controllo è marginally stable.

  • Se la frequenza di cross over di fase $ \ omega_ {pc} $ è inferiore alla frequenza di cross over del guadagno $ \ omega_ {gc} $, il sistema di controllo è unstable.

Guadagna margine

Il margine di guadagno $ GM $ è uguale al reciproco della grandezza del diagramma di Nyquist alla frequenza di incrocio di fase.

$$ GM = \ frac {1} {M_ {pc}} $$

Dove, $ M_ {pc} $ è l'ampiezza in scala normale alla frequenza di incrocio di fase.

Margine di fase

Il margine di fase $ PM $ è uguale alla somma di 180 0 e l'angolo di fase alla frequenza di cross over del guadagno.

$$ PM = 180 ^ 0 + \ phi_ {gc} $$

Dove, $ \ phi_ {gc} $ è l'angolo di fase alla frequenza di cross over del guadagno.

Di seguito è elencata la stabilità del sistema di controllo basato sulla relazione tra il margine di guadagno e il margine di fase.

  • Se il margine di guadagno $ GM $ è maggiore di uno e il margine di fase $ PM $ è positivo, il sistema di controllo lo è stable.

  • Se il margine di guadagno $ GM $ è uguale a uno e il margine di fase $ PM $ è zero gradi, il sistema di controllo lo è marginally stable.

  • Se il margine di guadagno $ GM $ è inferiore a uno e / o il margine di fase $ PM $ è negativo, il sistema di controllo è unstable.