Teorema del trasferimento di potenza massima
La quantità di potenza ricevuta da un carico è un parametro importante nelle applicazioni elettriche ed elettroniche. Nei circuiti DC, possiamo rappresentare il carico con un resistore avente una resistenza di R L ohm. Allo stesso modo, nei circuiti AC, possiamo rappresentarlo con un carico complesso avente un'impedenza di Z L ohm.
Maximum power transfer theorem afferma che la sorgente di tensione CC fornirà la massima potenza al resistore di carico variabile solo quando la resistenza di carico è uguale alla resistenza della sorgente.
Allo stesso modo, Maximum power transfer theorem afferma che la sorgente di tensione CA fornirà la massima potenza al carico complesso variabile solo quando l'impedenza di carico è uguale al coniugato complesso dell'impedenza della sorgente.
In questo capitolo, discutiamo del teorema del trasferimento di potenza massima per i circuiti CC.
Dimostrazione del teorema del trasferimento di potenza massima
Sostituire qualsiasi rete o circuito lineare a due terminali sul lato sinistro del resistore a carico variabile avente una resistenza di R L ohm con un circuito equivalente di Thevenin. Sappiamo che il circuito equivalente di Thevenin assomiglia a una pratica sorgente di tensione.
Questo concetto è illustrato nelle figure seguenti.
La quantità di potenza dissipata attraverso il resistore di carico è
$$ P_L = I ^ 2 R_L $$
Sostituisci $ I = \ frac {V_ {Th}} {R_ {Th} + R_L} $ nell'equazione precedente.
$$ P_L = \ lgroup \ frac {V_ {Th}} {(R_ {Th} + R_L)} \ rgroup ^ 2 R_L $$
$ \ Rightarrow P_L = {V_ {Th}} ^ 2 \ lbrace \ frac {R_L} {(R_ {Th} + R_L) ^ 2} \ rbrace $ Equation 1
Condizione per il massimo trasferimento di potenza
Per il massimo o il minimo, la derivata prima sarà zero. Quindi, differenziare l'equazione 1 rispetto a R L e renderla uguale a zero.
$$ \ frac {dP_L} {dR_L} = {V_ {Th}} ^ 2 \ lbrace \ frac {(R_ {Th} + R_L) ^ 2 \ times 1 - R_L \ times 2 (R_ {Th} + R_L) } {(R_ {Th} + R_L) ^ 4} \ rbrace = 0 $$
$$ \ Rightarrow (R_ {Th} + R_L) ^ 2 -2R_L (R_ {Th} + R_L) = 0 $$
$$ \ Rightarrow (R_ {Th} + R_L) (R_ {Th} + R_L - 2R_L) = 0 $$
$$ \ Rightarrow (R_ {Th} - R_L) = 0 $$
$$ \ Rightarrow R_ {Th} = R_L \: o \: R_L = R_ {Th} $$
quindi, il condition for maximum powerla dissipazione attraverso il carico è $ R_L = R_ {Th} $. Ciò significa che se il valore della resistenza di carico è uguale al valore della resistenza della sorgente, cioè la resistenza di Thevenin, la potenza dissipata attraverso il carico sarà del valore massimo.
Il valore di Maximum Power Transfer
Sostituisci $ R_L = R_ {Th} \: \ & \: P_L = P_ {L, Max} $ nell'equazione 1.
$$ P_ {L, Max} = {V_ {Th}} ^ 2 \ lbrace \ frac {R_ {Th}} {(R_ {Th} + R_ {Th}) ^ 2} \ rbrace $$
$$ P_ {L, Max} = {V_ {Th}} ^ 2 \ lbrace \ frac {R_ {Th}} {4 {R_ {Th}} ^ 2} \ rbrace $$
$$ \ Rightarrow P_ {L, Max} = \ frac {{V_ {Th}} ^ 2} {4 R_ {Th}} $$
$$ \ Rightarrow P_ {L, Max} = \ frac {{V_ {Th}} ^ 2} {4 R_ {L}}, \: since \: R_ {L} = R_ {Th} $$
quindi, il maximum amount of power trasferito al carico è
$$ P_ {L, Max} = \ frac {{V_ {Th}} ^ 2} {4R_ {L}} = \ frac {{V_ {Th}} ^ 2} {4R_ {Th}} $$
Efficienza del massimo trasferimento di potenza
Possiamo calcolare l'efficienza del trasferimento di potenza massimo, $ \ eta_ {Max} $ utilizzando la seguente formula.
$ \ eta_ {Max} = \ frac {P_ {L, Max}} {P_S} $ Equation 2
Dove,
$ P_ {L, Max} $ è la quantità massima di potenza trasferita al carico.
$ P_S $ è la quantità di energia generata dalla sorgente.
Il amount of power generated dalla fonte è
$$ P_S = I ^ 2 R_ {Th} + I ^ 2 R_L $$
$$ \ Rightarrow P_S = 2 I ^ 2 R_ {Th}, \: since \: R_ {L} = R_ {Th} $$
Sostituisci $ I = \ frac {V_ {Th}} {2 R_ {Th}} $ nell'equazione precedente.
$$ P_S = 2 \ lgroup \ frac {V_ {Th}} {2 R_ {Th}} \ rgroup ^ 2 R_ {Th} $$
$$ \ Rightarrow P_S = 2 \ lgroup \ frac {{V_ {Th}} ^ 2} {4 {R_ {Th}} ^ 2} \ rgroup R_ {Th} $$
$$ \ Rightarrow P_S = \ frac {{V_ {Th}} ^ 2} {2 R_ {Th}} $$
Sostituisci i valori di $ P_ {L, Max} $ e $ P_S $ nell'equazione 2.
$$ \ eta_ {Max} = \ frac {\ lgroup \ frac {{V_ {Th}} ^ 2} {4R_ {Th}} \ rgroup} {\ lgroup \ frac {{V_ {Th}} ^ 2} { 2R_ {Th}} \ rgroup} $$
$$ \ Rightarrow \ eta_ {Max} = \ frac {1} {2} $$
Possiamo rappresentare l'efficienza del massimo trasferimento di potenza in termini di percentage come segue -
$$ \% \ eta_ {Max} = \ eta_ {Max} \ times 100 \% $$
$$ \ Rightarrow \% \ eta_ {Max} = \ lgroup \ frac {1} {2} \ rgroup \ times 100 \% $$
$$ \ Rightarrow \% \ eta_ {Max} = 50 \% $$
Pertanto, l'efficienza del trasferimento di potenza massimo è 50 %.
Esempio
Trovare la maximum powererogabile al resistore di carico R L del circuito mostrato nella figura seguente.
Step 1- Nel capitolo Teorema di Thevenin, abbiamo calcolato il circuito equivalente di Thevenin sul lato sinistro dei terminali A e B. Ora possiamo usare questo circuito. È mostrato nella figura seguente.
Qui, la tensione di Thevenin $ V_ {Th} = \ frac {200} {3} V $ e la resistenza di Thevenin $ R_ {Th} = \ frac {40} {3} \ Omega $
Step 2- Sostituire la parte del circuito, che si trova sul lato sinistro dei terminali A e B del circuito dato, con il circuito equivalente di Thevenin di cui sopra. Lo schema circuitale risultante è mostrato nella figura seguente.
Step 3- Possiamo trovare la potenza massima che verrà erogata al resistore di carico, R L utilizzando la seguente formula.
$$ P_ {L, Max} = \ frac {{V_ {Th}} ^ 2} {4 R_ {Th}} $$
Sostituisci $ V_ {Th} = \ frac {200} {3} V $ e $ R_ {Th} = \ frac {40} {3} \ Omega $ nella formula precedente.
$$ P_ {L, Max} = \ frac {\ lgroup \ frac {200} {3} \ rgroup ^ 2} {4 \ lgroup \ frac {40} {3} \ rgroup} $$
$$ P_ {L, Max} = \ frac {250} {3} W $$
quindi, il maximum power che verrà inviato al resistore di carico RL del circuito dato è $ \ mathbf {\ frac {250} {3}} $ W