Teoria della rete - Risposta dei circuiti AC
Nel capitolo precedente, abbiamo discusso la risposta ai transienti e la risposta allo stato stazionario del circuito CC. In questo capitolo, discutiamo diresponse of AC circuit. Anche qui saranno utili i concetti di risposta transitoria e di stato stazionario, che abbiamo discusso nel capitolo precedente.
Trovare la risposta del circuito serie RL
Considera quanto segue series RL circuit diagramma.
Nel circuito sopra, il switch Era tenuto openfino a t = 0 ed era chiuso a t = 0 . Quindi, la sorgente di tensione AC avente una tensione di picco di V m volt non è collegata al circuito della serie RL fino a questo istante. Quindi c'èno initial current scorre attraverso l'induttore.
Lo schema del circuito, quando il switch è dentro closed posizione, è mostrato nella figura seguente.
Ora, la corrente i (t) scorre nell'intero circuito, poiché la sorgente di tensione CA con una tensione di picco di V m volt è collegata al circuito della serie RL.
Sappiamo che la corrente i (t) che scorre attraverso il circuito di cui sopra avrà due termini, uno che rappresenta la parte transitoria e l'altro termine rappresenta lo stato stazionario.
Matematicamente, può essere rappresentato come
$ i (t) = i_ {Tr} (t) + i_ {ss} (t) $Equation 1
Dove,
$ i_ {Tr} (t) $ è la risposta transitoria della corrente che scorre attraverso il circuito.
$ i_ {ss} (t) $ è la risposta allo stato stazionario della corrente che scorre attraverso il circuito.
Nel capitolo precedente, abbiamo ottenuto la risposta transitoria della corrente che scorre attraverso il circuito della serie RL. È nella forma di $ Ke ^ {- \ lgroup \ frac {t} {\ tau} \ rgroup} $.
Sostituisci $ i_ {Tr} (t) = Ke ^ {- \ lgroup \ frac {t} {\ tau} \ rgroup} $ nell'equazione 1.
$ i (t) = Ke ^ {- \ lgroup \ frac {t} {\ tau} \ rgroup} + i_ {ss} (t) $Equation 2
Calcolo della corrente allo stato stazionario
Se un segnale sinusoidale viene applicato come ingresso a un circuito elettrico lineare, allora produce un'uscita di stato stazionario, che è anche un sinusoidal signal. Entrambi i segnali sinusoidali di ingresso e di uscita avranno la stessa frequenza, ma ampiezze e angoli di fase diversi.
Possiamo calcolare la risposta allo stato stazionario di un circuito elettrico, quando è eccitato da una sorgente di tensione sinusoidale utilizzando Laplace Transform approach.
Lo schema circuitale del dominio s, quando il switch è dentro closed posizione, è mostrato nella figura seguente.
Nel circuito sopra, tutte le quantità e i parametri sono rappresentati in s-domain. Queste sono le trasformate di Laplace di grandezze e parametri nel dominio del tempo.
Il Transfer function del circuito sopra è
$$ H (s) = \ frac {I (s)} {V (s)} $$
$$ \ Rightarrow H (s) = \ frac {1} {Z (s)} $$
$$ \ Rightarrow H (s) = \ frac {1} {R + sL} $$
Sostituisci $ s = j \ omega $ nell'equazione precedente.
$$ H (j \ omega) = \ frac {1} {R + j \ omega L} $$
Magnitude of $ \ mathbf {\ mathit {H (j \ omega)}} $ è
$$ | H (j \ omega) | = \ frac {1} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2} L ^ 2} $$
Phase angle of $ \ mathbf {\ mathit {H (j \ omega)}} $ è
$$ \ angle H (j \ omega) = -tan ^ {- 1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup $$
Otterremo il file steady state current $ i_ {ss} (t) $ eseguendo i due passaggi seguenti:
Moltiplicare la tensione di picco della tensione sinusoidale di ingresso e l'ampiezza di $ H (j \ omega) $.
Somma gli angoli di fase della tensione sinusoidale di ingresso e $ H (j \ omega) $.
Il steady state current $ i_ {ss} (t) $ sarà
$$ i_ {ss} (t) = \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ omega t + \ varphi - tan ^ {- 1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $$
Sostituisci il valore di $ i_ {ss} (t) $ nell'equazione 2.
$ i (t) = Ke ^ {- \ lgroup \ frac {t} {\ tau} \ rgroup} + \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} peccato \ lgroup \ omega t + \ varphi - tan ^ {- 1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $Equation 3
Sappiamo che non c'è corrente iniziale nel circuito. Quindi, sostituire t = 0 & i (t) = 0 nell'equazione 3 per trovare il valore della costante K.
$$ 0 = Ke ^ {- \ lgroup \ frac {0} {\ tau} \ rgroup} + \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ omega (0) + \ varphi - tan ^ {- 1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $$
$$ \ Rightarrow 0 = K + \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ varphi - tan ^ {- 1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $$
$$ \ Rightarrow K = - \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ varphi - tan ^ {- 1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $$
Sostituisci il valore di K nell'equazione 3.
$ i (t) = - \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ varphi - tan ^ {- 1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup e ^ {- \ lgroup \ frac {t} {\ tau} \ rgroup} + \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2 }} sin \ lgroup \ omega t + \ varphi - tan ^ {- 1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $Equation 4
L'equazione 4 rappresenta la corrente che scorre attraverso il circuito della serie RL, quando è eccitata da una sorgente di tensione sinusoidale. Sta avendo due termini. Il primo e il secondo termine rappresentano rispettivamente la risposta transitoria e la risposta allo stato stazionario della corrente.
Noi possiamo neglect the first termdell'equazione 4 perché il suo valore sarà molto inferiore a uno. Quindi, la corrente risultante che scorre attraverso il circuito sarà
$$ i (t) = \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ omega t + \ varphi - tan ^ {- 1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $$
Contiene solo il file steady state term. Quindi, possiamo trovare solo la risposta allo stato stazionario dei circuiti CA e trascurarne la risposta transitoria.