Matrici di topologia di rete

Nel capitolo precedente, abbiamo discusso come convertire un circuito elettrico in un grafico equivalente. Ora, parliamo delle matrici della topologia di rete che sono utili per risolvere qualsiasi circuito elettrico o problema di rete utilizzando i loro grafici equivalenti.

Matrici associate a grafici di rete

Di seguito sono riportate le tre matrici utilizzate nella teoria dei grafi.

• Matrice di incidenza
• Matrice del ciclo fondamentale
• Matrice del set di taglio fondamentale

Matrice di incidenza

Una matrice di incidenza rappresenta il grafico di un dato circuito elettrico o rete. Quindi, è possibile disegnare il grafico di quello stesso circuito o rete elettrica dalincidence matrix.

Sappiamo che il grafico è costituito da un insieme di nodi e questi sono collegati da alcuni rami. Quindi, il collegamento di rami a un nodo è chiamato come incidenza. La matrice di incidenza è rappresentata con la lettera A. Viene anche chiamata matrice di incidenza da nodo a ramo onode incidence matrix.

Se sono presenti "n" nodi e rami "b" sono presenti in a directed graph, quindi la matrice di incidenza avrà "n" righe e "b" colonne. Qui, righe e colonne corrispondono ai nodi e ai rami di un grafo diretto. Quindi ilorder della matrice di incidenza sarà n × b.

Il elements of incidence matrix avrà uno di questi tre valori, +1, -1 e 0.

• Se la corrente del ramo esce da un nodo selezionato, il valore dell'elemento sarà +1.

• Se la corrente del ramo sta entrando verso un nodo selezionato, il valore dell'elemento sarà -1.

• Se la corrente del ramo non entra in un nodo selezionato né esce da un nodo selezionato, il valore dell'elemento sarà 0.

Procedura per trovare la matrice di incidenza

Seguire questi passaggi per trovare la matrice di incidenza del grafico diretto.

• Selezionare un nodo alla volta del dato grafico orientato e riempire i valori degli elementi della matrice di incidenza corrispondenti a quel nodo in una riga.

• Ripetere il passaggio precedente per tutti i nodi del grafico diretto specificato.

Esempio

Considera quanto segue directed graph.

Il incidence matrix corrispondente al grafico sopra indicato sarà

$$ A = \ begin {bmatrix} -1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \ end {bmatrix} $$

Le righe e le colonne della matrice di cui sopra rappresentano i nodi e le diramazioni di un dato grafo diretto. L'ordine di questa matrice di incidenza è 4 × 6.

Osservando la matrice di incidenza di cui sopra, possiamo concludere che il summationdegli elementi di colonna della matrice di incidenza è uguale a zero. Ciò significa che una corrente di ramo parte da un nodo ed entra solo in un altro nodo singolo.

Note- Se il grafico dato è di tipo non diretto, convertilo in un grafico diretto rappresentando le frecce su ogni suo ramo. Possiamo considerare la direzione arbitraria del flusso di corrente in ogni ramo.

Matrice del ciclo fondamentale

Ciclo fondamentale o f-loopè un ciclo, che contiene solo un collegamento e uno o più ramoscelli. Quindi, il numero di f-loop sarà uguale al numero di collegamenti. La matrice del ciclo fondamentale è rappresentata con la lettera B. È anche chiamata comefundamental circuit matrixe matrice tie-set. Questa matrice fornisce la relazione tra le correnti di ramo e le correnti di collegamento.

Se sono presenti "n" nodi e rami "b" sono presenti in a directed graph, quindi il numero di collegamenti presenti in un co-albero, che corrisponde all'albero selezionato di un dato grafo, sarà b-n + 1.

Quindi, la matrice del ciclo fondamentale avrà righe "b-n + 1" e colonne "b". Qui, righe e colonne corrispondono ai collegamenti del co-albero e dei rami di un dato grafico. Quindi, l'ordine della matrice del ciclo fondamentale sarà(b - n + 1) × b.

Il elements of fundamental loop matrix avrà uno di questi tre valori, +1, -1 e 0.

• Il valore dell'elemento sarà +1 per il collegamento dell'f-loop selezionato.

• Il valore degli elementi sarà 0 per i collegamenti e ramoscelli rimanenti, che non fanno parte dell'f-loop selezionato.

• Se la direzione della corrente del ramoscello del loop f selezionato è uguale a quella della corrente del link f-loop, il valore dell'elemento sarà +1.

• Se la direzione della corrente del ramoscello del loop f selezionato è opposta a quella della corrente del link f-loop, il valore dell'elemento sarà -1.

Procedura per trovare la matrice del ciclo fondamentale

Segui questi passaggi per trovare la matrice del ciclo fondamentale di un dato grafo diretto.

• Seleziona un albero di un dato grafico diretto.

• Includendo un collegamento alla volta, otterremo un f-loop. Riempi i valori degli elementi corrispondenti a questo f-loop in una riga della matrice del loop fondamentale.

• Ripetere il passaggio precedente per tutti i collegamenti.

Esempio

Dai un'occhiata al seguente albero di directed graph, che è considerato per la matrice di incidenza.

L'albero sopra contiene tre rami d, e & f. Quindi, i rami a, b e c saranno i collegamenti del Co-Albero corrispondente all'Albero sopra. Includendo un collegamento alla volta all'albero sopra, ne otterremo unof-loop. Quindi, ce ne saranno tref-loops, poiché sono presenti tre collegamenti. Questi tre f-loop sono mostrati nella figura seguente.

Nella figura sopra, i rami, che sono rappresentati con linee colorate, formano f-loop. Otterremo i valori degli elementi per riga della matrice Tie-set da ogni f-loop. Così laTieset matrix dell'Albero sopra considerato sarà

$$ B = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \ end {bmatrix} $$

Le righe e le colonne della matrice sopra rappresentano i collegamenti e le diramazioni di un dato grafico diretto. L'ordine di questa matrice di incidenza è 3 × 6.

Il number of Fundamental loop matricesdi un grafo orientato sarà uguale al numero di alberi di quel grafo orientato. Perché ogni albero avrà una matrice del ciclo fondamentale.

Matrice di set di taglio fondamentale

Taglio fondamentale impostato o f-cut setè il numero minimo di rami che vengono rimossi da un grafico in modo tale che il grafico originale diventi due sottografi isolati. Il set f-cut contiene soloone twige uno o più link. Quindi, il numero di set f-cut sarà uguale al numero di ramoscelli.

Fundamental cut set matrix è rappresentato con la lettera C. Questa matrice fornisce la relazione tra le tensioni di ramo e le tensioni di ramoscello.

Se sono presenti "n" nodi e rami "b" sono presenti in a directed graph, quindi il numero di ramoscelli presenti in un albero selezionato di un dato grafico sarà n-1. Quindi, la matrice del set di taglio fondamentale avrà righe "n-1" e colonne "b". Qui, righe e colonne corrispondono ai ramoscelli dell'albero selezionato e ai rami di un dato grafico. Quindi ilorder della matrice del set di taglio fondamentale sarà (n-1) × b.

Il elements of fundamental cut set matrix avrà uno di questi tre valori, +1, -1 e 0.

• Il valore dell'elemento sarà +1 per il ramoscello dell'f-cutset selezionato.

• Il valore degli elementi sarà 0 per i rimanenti ramoscelli e collegamenti, che non fanno parte dell'f-cutset selezionato.

• Se la direzione della corrente di collegamento dell'insieme f-cut selezionato è uguale a quella della corrente del ramoscello f-cutset, il valore dell'elemento sarà +1.

• Se la direzione della corrente di collegamento dell'insieme f-cut selezionato è opposta a quella della corrente del ramoscello f-cutset, il valore dell'elemento sarà -1.

Procedura per trovare la matrice di set di taglio fondamentale

Seguire questi passaggi per trovare la matrice dell'insieme di taglio fondamentale di un dato grafico diretto.

• Selezionare un albero di un dato grafico diretto e rappresentare i collegamenti con le linee tratteggiate.

• Rimuovendo un ramoscello e i collegamenti necessari alla volta, otterremo un set f-cut. Riempi i valori degli elementi corrispondenti a questo set di f-cut in una riga della matrice del set di tagli fondamentali.

• Ripeti il ​​passaggio precedente per tutti i ramoscelli.

Esempio

Considera lo stesso directed graph , di cui abbiamo discusso nella sezione della matrice di incidenza. Seleziona i rami d, e & f di questo grafico orientato come ramoscelli. Quindi, i rimanenti rami a, b & c di questo grafo diretto saranno i collegamenti.

Il twigs d, e & f sono rappresentati con linee continue e links a, b e c sono rappresentati con linee tratteggiate nella figura seguente.

Rimuovendo un ramoscello e i collegamenti necessari alla volta, otterremo un set f-cut. Quindi, ci saranno tre set f-cut, poiché ci sono tre ramoscelli. Questi tref-cut sets sono mostrati nella figura seguente.

Avremo tre serie di f-cut rimuovendo una serie di ramoscelli e collegamenti di C ₁ , C ₂ e C ₃ . Otterremo i valori degli elementi di riga della matrice del set di taglio fondamentale da ciascun set di f-cut. Così lafundamental cut set matrix dell'Albero sopra considerato sarà

$$ C = \ begin {bmatrix} 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} $$

Le righe e le colonne della matrice precedente rappresentano i ramoscelli e i rami di un dato grafico diretto. L'ordine di questa matrice fondamentale del set di tagli è 3 × 6.

Il number of Fundamental cut set matricesdi un grafo orientato sarà uguale al numero di alberi di quel grafo orientato. Perché ogni albero avrà una matrice dell'insieme di tagli fondamentali.