Teoria della rete - Risposta dei circuiti DC
Se l'uscita di un circuito elettrico per un ingresso varia rispetto al tempo, si chiama come time response. Il tempo di risposta consiste nel seguire due parti.
- Risposta transitoria
- Risposta allo stato stazionario
In questo capitolo, discutiamo prima di queste due risposte e poi osserviamo queste due risposte in un circuito RL in serie, quando è eccitato da una sorgente di tensione CC.
Risposta transitoria
Dopo aver applicato un ingresso a un circuito elettrico, l'uscita impiega un certo tempo per raggiungere lo stato stazionario. Quindi, l'uscita sarà in uno stato transitorio fino a quando non andrà a uno stato stabile. Pertanto, la risposta del circuito elettrico durante lo stato transitorio è nota cometransient response.
La risposta transitoria sarà zero per grandi valori di "t". Idealmente, questo valore di "t" dovrebbe essere infinito. Ma praticamentefive time constants sono sufficienti.
Presenza o assenza di transitori
Transitori si verificano nella risposta a causa di sudden changenelle sorgenti che vengono applicate al circuito elettrico e / o per azione di commutazione. Ci sono due possibili azioni di commutazione. Quelli sono interruttore di apertura e interruttore di chiusura.
Il transient parte lo farà not presentnella risposta di un circuito elettrico o di una rete, se contiene solo resistenze. Perchéresistor sta avendo la capacità di regolare qualsiasi quantità di tensione e corrente.
Il transient part occurs nella risposta di un circuito elettrico o di una rete a causa della presenza di elementi di accumulo di energia come inductor and capacitor. Perché non possono cambiare istantaneamente l'energia immagazzinata in quegli elementi.
Comportamento dell'induttore
Supponiamo che l'azione di commutazione avvenga a t = 0.Inductor currentnon cambia istantaneamente, quando avviene l'azione di commutazione. Ciò significa che il valore della corrente dell'induttore subito dopo l'azione di commutazione sarà uguale a quello appena prima dell'azione di commutazione.
Matematicamente, può essere rappresentato come
$$ i_L (0 ^ +) = i_L (0 ^ -) $$
Comportamento del condensatore
Il capacitor voltagenon cambia istantaneamente come la corrente dell'induttore, quando ha luogo l'azione di commutazione. Ciò significa che il valore della tensione del condensatore subito dopo l'azione di commutazione sarà uguale a quello appena prima dell'azione di commutazione.
Matematicamente, può essere rappresentato come
$$ v_c (0 ^ +) = v_c (0 ^ -) $$
Risposta allo stato stazionario
La parte della risposta temporale che rimane anche dopo che la risposta transitoria è diventata valore zero per valori grandi di 't' è nota come steady state response. Ciò significa che non ci sarà alcuna parte transitoria nella risposta durante lo stato stazionario.
Comportamento dell'induttore
Se la sorgente indipendente è collegata al circuito elettrico o alla rete avente uno o più induttori e resistori (opzionali) per un lungo periodo, si dice che quel circuito elettrico o rete sia in stato stazionario. Pertanto, l'energia immagazzinata negli induttori di quel circuito elettrico è massima e costante.
Matematicamente, può essere rappresentato come
$ W_L = \ frac {L {i_L} ^ 2} {2} = $ Massimo e costante
$ \ Rightarrow i_L = $ Massimo e costante
Pertanto, l'induttore funge da constant current source in stato stazionario.
La tensione attraverso l'induttore sarà
$$ V_L = L \ frac {di_ {L}} {dt} = 0V $$
Quindi, l'induttore funge da short circuit in stato stazionario.
Comportamento del condensatore
Se la sorgente indipendente è collegata al circuito elettrico o alla rete avente uno o più condensatori e resistenze (opzionali) per un lungo periodo, si dice che quel circuito elettrico o rete sia in stato stazionario. Pertanto, l'energia immagazzinata nei condensatori di quel circuito elettrico è massima e costante.
Matematicamente, può essere rappresentato come
$ W_c = \ frac {C {v_c} ^ 2} {2} = $ Massimo e costante
$ \ Rightarrow v_c = $ Massimo e costante
Pertanto, il condensatore funge da constant voltage source in stato stazionario.
La corrente che scorre attraverso il condensatore sarà
$$ i_c = C \ frac {dv_c} {dt} = 0A $$
Quindi, il condensatore agisce come un file open circuit in stato stazionario.
Trovare la risposta del circuito serie RL
Considera quanto segue series RL circuit diagramma.
Nel circuito sopra, il switch Era tenuto openfino a t = 0 ed era chiusa a t = 0. Quindi, la sorgente di tensione continua avente V volt non è collegata al circuito della serie RL fino a questo istante. Quindi c'èno initial current scorre attraverso l'induttore.
Lo schema del circuito, quando il switch è dentro closed la posizione è mostrata nella figura seguente.
Ora, la corrente i fluisce nell'intero circuito, poiché la sorgente di tensione CC ha V volt è collegato al circuito della serie RL.
Ora, applica KVL intorno al ciclo.
$$ V = Ri + L \ frac {di} {dt} $$
$ \ frac {di} {dt} + \ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup i = \ frac {V} {L} $Equation 1
L'equazione di cui sopra è un'equazione differenziale del primo ordine ed è nella forma di
$ \ frac {dy} {dt} + Py = Q $Equation 2
Di comparing Equazione 1 ed Equazione 2, otterremo le seguenti relazioni.
$$ x = t $$
$$ y = i $$
$$ P = \ frac {R} {L} $$
$$ Q = \ frac {V} {L} $$
Il solution dell'equazione 2 sarà
$ ye ^ {\ int p dx} = \ int Q e ^ {\ int p dx} dx + k $Equation 3
Dove, k è la costante.
Sostituisci i valori di x, y, P & Q nell'equazione 3.
$ ie ^ {\ int {\ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup} dt} = \ int (\ frac {V} {L}) \ lgroup e ^ {\ int {\ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup} dt} \ rgroup dt + k $
$ \ Rightarrow ie ^ {\ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup t} = \ frac {V} {L} \ int e ^ {\ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup t} dt + k $
$ \ Rightarrow ie ^ {\ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup t} = \ frac {V} {L} \ lbrace \ frac {e ^ {\ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup} t} {\ frac {R} {L}} \ rbrace + k $
$ \ Rightarrow i = \ frac {V} {R} + ke ^ {- \ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup} t $Equation 4
Sappiamo che non c'è corrente iniziale nel circuito. Quindi, sostituire, t = 0 e = 0 nell'equazione 4 per trovare il valore della costante k.
$$ 0 = \ frac {V} {R} + ke ^ {- \ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup (0)} $$
$$ 0 = \ frac {V} {R} + k (1) $$
$$ k = - \ frac {V} {R} $$
Sostituisci il valore di k nell'equazione 4.
$$ i = \ frac {V} {R} + \ lgroup - \ frac {V} {R} \ rgroup e ^ {- \ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup t} $$
$$ i = \ frac {V} {R} - \ frac {V} {R} e ^ {- \ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup t} $$
quindi, il current che scorre attraverso il circuito è
$ i = - \ frac {V} {R} e ^ {- \ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup t} + \ frac {V} {R} $Equation 5
Quindi, la risposta del circuito della serie RL, quando è eccitato da una sorgente di tensione CC, ha i seguenti due termini.
Il primo termine $ - \ frac {V} {R} e ^ {- \ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup t} $ corrisponde al transient response.
Il secondo termine $ \ frac {V} {R} $ corrisponde al steady state response. Queste due risposte sono mostrate nella figura seguente.
Possiamo riscrivere l'equazione 5 come segue:
$ i = \ frac {V} {R} \ lgroup 1 - e ^ {- \ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup t} \ rgroup $
$ \ Rightarrow i = \ frac {V} {R} \ lgroup 1 - e ^ {- \ lgroup \ frac {t} {\ tau} \ rgroup} \ rgroup $Equation 6
Dove, τ è il time constant e il suo valore è uguale a $ \ frac {L} {R} $.
Sia l'equazione 5 che l'equazione 6 sono uguali. Tuttavia, possiamo facilmente comprendere la forma d'onda di cui sopra della corrente che scorre attraverso il circuito dall'equazione 6 sostituendo alcuni valori dit come 0, τ, 2τ, 5τ, ecc.
Nella suddetta forma d'onda della corrente che fluisce attraverso il circuito, la risposta transitoria presenterà fino a cinque costanti di tempo da zero, mentre la risposta di stato stazionario sarà presente da cinque costanti di tempo in poi.