DSP - Trasformata coseno discreta DFT

DCT (Discrete Cosine Transform) è una sequenza N-input x (n), 0≤n≤N-1, come trasformazione lineare o combinazione di esponenziali complessi. Di conseguenza, i coefficienti DFT sono in generale complessi anche se x (n) è reale.

Supponiamo di provare a trovare una trasformazione ortogonale che ha una struttura N × N che esprime una sequenza reale x (n) come combinazione lineare della sequenza del coseno. Lo sappiamo già -

$ X (K) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) cos \ frac {2 \ Pi kn} {N} 0 \ leq k \ leq N-1 $

E $ x (n) = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} x (k) cos \ frac {2 \ Pi kn} {N} 0 \ leq k \ leq N-1 $

Ciò è possibile se la sequenza di N punti x (n) è reale e uniforme. Quindi, $ x (n) = x (Nn), 0 \ leq n \ leq (N-1) $. La stessa DFT risultante è reale e uniforme. Queste cose rendono chiaro che potremmo eventualmente congegnare una trasformata discreta del coseno, per qualsiasi sequenza reale di N punti, prendendo il punto 2N DFT di una "estensione pari" della sequenza.

DCT è, fondamentalmente, utilizzato nell'elaborazione di immagini e parlato. Viene anche utilizzato per la compressione di immagini e segnali vocali.

$ DFT [s (n)] = S (k) = \ sum_ {n = 0} ^ {2N-1} s (n) W_ {2N} ^ {nk}, \ quad dove \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

$ S (k) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) W_ {2N} ^ {nk} + \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = N} ^ {2N -1} x (2N-n-1) W_ {2N} ^ {nk}; \ quad dove \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

$ \ Rightarrow S (k) = W_ {2N} ^ {- k / 2} + \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) [W_ {2N} ^ {nk} W_ {2N} ^ {k / 2} + W_ {2N} ^ {- nk} W_ {2N} ^ {- k / 2}]; \ quad dove \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

$ \ Rightarrow S (k) = W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2}} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) \ cos [\ frac {\ pi} { N} (n + \ frac {1} {2}) k]; \ quad dove \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

DCT è definito da,

$ V (k) = 2 \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) \ cos [\ frac {\ pi} {2} (n + \ frac {1} {2}) k] \ quad dove \ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $

$ \ Rightarrow V (k) = W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2}} S (k) \ quad o \ quad S (k) = W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2 }} V (k), \ quad dove \ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $

$ \ Rightarrow V (k) = 2R [W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2}} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) W_ {2N} ^ {nk} ], \ quad dove \ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $