Elaborazione del segnale digitale - Introduzione alla DFT
Come la trasformata di Fourier del segnale temporale continuo, la trasformata di Fourier a tempo discreto può essere utilizzata per rappresentare una sequenza discreta nella sua rappresentazione nel dominio della frequenza equivalente e nel sistema temporale discreto LTI e per sviluppare vari algoritmi computazionali.
X (jω) in FT continua, è una funzione continua di x (n). Tuttavia, DFT si occupa di rappresentare x (n) con campioni del suo spettro X (ω). Quindi, questo strumento matematico ha molta importanza dal punto di vista computazionale nella rappresentazione conveniente. Tramite questo strumento è possibile elaborare sia sequenze periodiche che non periodiche. Le sequenze periodiche devono essere campionate estendendo il periodo all'infinito.
Campionamento nel dominio della frequenza
Dall'introduzione, è chiaro che abbiamo bisogno di sapere come procedere attraverso il campionamento nel dominio della frequenza, cioè il campionamento X (ω). Quindi, la relazione tra trasformata di Fourier campionata e DFT viene stabilita nel modo seguente.
Allo stesso modo, le sequenze periodiche possono adattarsi a questo strumento estendendo il periodo N all'infinito.
Sia una sequenza non periodica, $ X (n) = \ lim_ {N \ to \ infty} x_N (n) $
Definendo la sua trasformata di Fourier,
$ X (\ omega) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- jwn} X (K \ delta \ omega) $ ... eq (1)
Qui, X (ω) viene campionato periodicamente, ad ogni intervallo di δω radianti.
Poiché X (ω) è periodico in 2π radianti, richiediamo campioni solo nell'intervallo fondamentale. I campioni vengono prelevati dopo intervalli equidistanti nella gamma di frequenza 0≤ω≤2π. La spaziatura tra gli intervalli equivalenti è $ \ delta \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $ radianti.
Ora valutando, $ \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $
$ X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- j2 \ pi nk / N}, $ ... eq ( 2)
dove k = 0,1, …… N-1
Dopo aver suddiviso quanto sopra e scambiato l'ordine di sommatoria
$ X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} [\ displaystyle \ sum \ limits_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (n-Nl)] e ^ {- j2 \ pi nk / N} $ ... eq (3)
$ \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (n-Nl) = x_p (n) = una \ quad periodico \ quad function \ quad di \ quad period \ quad N \ quad e \ quad its \ quad fourier \ quad series \ quad = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} C_ke ^ {j2 \ pi nk / N} $
dove, n = 0,1,… .., N-1; 'p' sta per entità o funzione periodica
I coefficienti di Fourier sono,
$ C_k = \ frac {1} {N} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_p (n) e ^ {- j2 \ pi nk / N} $ k = 0,1,…, N- 1 ... eq (4)
Confrontando le equazioni 3 e 4, otteniamo;
$ NC_k = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) $ k = 0,1,…, N-1 ... eq (5)
$ NC_k = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = X (e ^ {jw}) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_p (n) e ^ { -j2 \ pi nk / N} $ ... eq (6)
Dall'espansione della serie di Fourier,
$ x_p (n) = \ frac {1} {N} \ displaystyle \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (\ frac {2 \ pi} {N} k) e ^ {j2 \ pi nk / N} $ ... eq (7)
Dove n = 0,1,…, N-1
Qui, abbiamo ottenuto il segnale periodico da X (ω). $ x (n) $ può essere estratto da $ x_p (n) $ solo se non è presente alcun alias nel dominio del tempo. $ N \ geq L $
N = periodo di $ x_p (n) $ L = periodo di $ x (n) $
$ x (n) = \ begin {cases} x_p (n), & 0 \ leq n \ leq N-1 \\ 0, & Altrimenti \ end {cases} $
La mappatura si ottiene in questo modo.
Proprietà di DFT
Linearità
Afferma che la DFT di una combinazione di segnali è uguale alla somma della DFT dei singoli segnali. Prendiamo due segnali x 1 (n) e x 2 (n), i cui DFT sono rispettivamente X 1 (ω) e X 2 (ω). Quindi se
$ x_1 (n) \ rightarrow X_1 (\ omega) $ e $ x_2 (n) \ rightarrow X_2 (\ omega) $
Quindi $ ax_1 (n) + bx_2 (n) \ rightarrow aX_1 (\ omega) + bX_2 (\ omega) $
dove a e b sono costanti.
Simmetria
Le proprietà di simmetria di DFT possono essere derivate in modo simile a come abbiamo derivato le proprietà di simmetria di DTFT. Sappiamo che DFT della sequenza x (n) è denotato da X (K). Ora, se x (n) e X (K) sono successioni a valori complessi, allora può essere rappresentata come sotto
$ x (n) = x_R (n) + jx_1 (n), 0 \ leq n \ leq N-1 $
E $ X (K) = X_R (K) + jX_1 (K), 0 \ leq K \ leq N-1 $
Proprietà dualità
Consideriamo un segnale x (n), il cui DFT è dato come X (K). Sia X (N) la sequenza di durata finita. Quindi secondo il teorema della dualità,
Se, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $
Quindi, $ X (N) \ longleftrightarrow Nx [((- k)) _ N] $
Quindi, usando questo teorema se conosciamo DFT, possiamo facilmente trovare la sequenza di durata finita.
Proprietà coniugate complesse
Supponiamo che ci sia un segnale x (n), il cui DFT è noto anche come X (K). Ora, se il complesso coniugato del segnale è dato come x * (n), allora possiamo facilmente trovare il DFT senza fare molti calcoli usando il teorema mostrato sotto.
Se, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $
Quindi, $ x * (n) \ longleftrightarrow X * ((K)) _ N = X * (NK) $
Spostamento di frequenza circolare
La moltiplicazione della sequenza x (n) con la sequenza esponenziale complessa $ e ^ {j2 \ Pi kn / N} $ è equivalente allo spostamento circolare del DFT per L unità di frequenza. Questo è il duale della proprietà dello spostamento temporale circolare.
Se, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $
Quindi, $ x (n) e ^ {j2 \ Pi Kn / N} \ longleftrightarrow X ((KL)) _ N $
Moltiplicazione di due sequenze
Se ci sono due segnali x 1 (n) e x 2 (n) e le rispettive DFT sono X 1 (k) e X 2 (K), la moltiplicazione dei segnali in sequenza temporale corrisponde alla convoluzione circolare delle loro DFT.
Se $ x_1 (n) \ longleftrightarrow X_1 (K) \ quad \ & \ quad x_2 (n) \ longleftrightarrow X_2 (K) $
Quindi, $ x_1 (n) \ times x_2 (n) \ longleftrightarrow X_1 (K) © X_2 (K) $
Teorema di Parseval
Per sequenze a valori complessi x (n) e y (n), in generale
Se $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) \ quad \ & \ quad y (n) \ longleftrightarrow Y (K) $
Quindi, $ \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * (n) = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X ( K) Y ^ * (K) $