DSP - Trasformata in frequenza temporale DFT

Sappiamo che quando $ \ omega = 2 \ pi K / N $ e $ N \ rightarrow \ infty, \ omega $ diventa una variabile continua e la somma dei limiti diventa $ - \ infty $ a $ + \ infty $.

Perciò,

$$ NC_k = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = X (e ^ {j \ omega}) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {\ frac {-j2 \ pi nk} {N}} = \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- j \ omega n} $$

Trasformata di Fourier in tempo discreto (DTFT)

Sappiamo che $ X (e ^ {j \ omega}) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- j \ omega n} $

Dove, $ X (e ^ {j \ omega}) $ è continua e periodica in ω e con periodo 2π. ... eq (1)

Adesso,

$ x_p (n) = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} $ … Dalla serie di Fourier

$ x_p (n) = \ frac {1} {2 \ pi} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} \ times \ frac {2 \ pi} {N } $

ω diventa continuo e $ \ frac {2 \ pi} {N} \ rightarrow d \ omega $, per i motivi sopra citati.

$ x (n) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int_ {n = 0} ^ {2 \ pi} X (e ^ {j \ omega}) e ^ {j \ omega n} d \ omega $ ... eq (2)

Trasformata di Fourier a tempo discreto inverso

Simbolicamente,

$ x (n) \ Longleftrightarrow x (e ^ {j \ omega}) $ (La coppia della trasformata di Fourier)

La condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza della trasformata di Fourier a tempo discreto per una sequenza non periodica x (n) è sommabile assoluta.

cioè $ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty | x (n) | <\ infty $

Proprietà di DTFT

• Linearity: $ a_1x_1 (n) + a_2x_2 (n) \ Leftrightarrow a_1X_1 (e ^ {j \ omega}) + a_2X_2 (e ^ {j \ omega}) $

• Time shifting- $ x (nk) \ Leftrightarrow e ^ {- j \ omega k} .X (e ^ {j \ omega}) $

• Time Reversal- $ x (-n) \ Leftrightarrow X (e ^ {- j \ omega}) $

• Frequency shifting- $ e ^ {j \ omega _0n} x (n) \ Leftrightarrow X (e ^ {j (\ omega - \ omega _0)}) $

• Differentiation frequency domain- $ nx (n) = j \ frac {d} {d \ omega} X (e ^ {j \ omega}) $

• Convolution- $ x_1 (n) * x_2 (n) \ Leftrightarrow X_1 (e ^ {j \ omega}) \ times X_2 (e ^ {j \ omega}) $

• Multiplication- $ x_1 (n) \ times x_2 (n) \ Leftrightarrow X_1 (e ^ {j \ omega}) * X_2 (e ^ {j \ omega}) $

• Co-relation- $ y_ {x_1 \ times x_2} (l) \ Leftrightarrow X_1 (e ^ {j \ omega}) \ times X_2 (e ^ {j \ omega}) $

• Modulation theorem- $ x (n) \ cos \ omega _0n = \ frac {1} {2} [X_1 (e ^ {j (\ omega + \ omega _0}) * X_2 (e ^ {jw}) $

• Symmetry- $ x ^ * (n) \ Leftrightarrow X ^ * (e ^ {- j \ omega}) $;

  $ x ^ * (- n) \ Leftrightarrow X ^ * (e ^ {j \ omega}) $;

  $ Reale [x (n)] \ Leftrightarrow X_ {pari} (e ^ {j \ omega}) $;

  $ Imag [x (n)] \ Leftrightarrow X_ {dispari} (e ^ {j \ omega}) $;

  $ x_ {pari} (n) \ Leftrightarrow Reale [x (e ^ {j \ omega})] $;

  $ x_ {odd} (n) \ Leftrightarrow Imag [x (e ^ {j \ omega})] $;

• Parseval’s theorem- $ \ sum _ {- \ infty} ^ \ infty | x_1 (n) | ^ 2 = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} | X_1 (e ^ {j \ omega}) | ^ 2d \ omega $

In precedenza, abbiamo studiato il campionamento nel dominio della frequenza. Con questa conoscenza di base, campioniamo $ X (e ^ {j \ omega}) $ nel dominio della frequenza, in modo che sia possibile eseguire un'analisi digitale conveniente da quei dati campionati. Quindi, DFT viene campionato sia nel dominio del tempo che in quello della frequenza. Con l'ipotesi $ x (n) = x_p (n) $

Quindi, DFT è dato da -

$ X (k) = DFT [x (n)] = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) e ^ {- \ frac {j2 \ pi nk} {N}} $, k = 0,1,…., N − 1 … eq (3)

E IDFT è dato da -

$ X (n) = IDFT [X (k)] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (k) e ^ {\ frac {j2 \ pi nk} {N}} $, n = 0,1,…., N − 1 … eq (4)

$ \ quindi x (n) \ Leftrightarrow X (k) $

Fattore Twiddle

È indicato come $ W_N $ e definito come $ W_N = e ^ {- j2 \ pi / N} $. La sua grandezza è sempre mantenuta all'unità. Fase di $ W_N = -2 \ pi / N $. È un vettore su un cerchio unitario e viene utilizzato per comodità di calcolo. Matematicamente, può essere mostrato come:

$ W_N ^ r = W_N ^ {r \ pm N} = W_N ^ {r \ pm 2N} = ... $

• È funzione di re periodo N.

  Considera N = 8, r = 0,1,2,3,… .14,15,16,….

  $ \ Longleftrightarrow W_8 ^ 0 = W_8 ^ 8 = W_8 ^ {16} = ... = ... = W_8 ^ {32} = ... = 1 = 1 \ angolo 0 $

• $ W_8 ^ 1 = W_8 ^ 9 = W_8 ^ {17} = ... = ... = W_8 ^ {33} = ... = \ frac {1} {\ sqrt 2} = j \ frac {1} {\ sqrt 2} = 1 \ angle- \ frac {\ pi} {4} $

Trasformazione lineare

Cerchiamo di capire la trasformazione lineare -

Lo sappiamo,

$ DFT (k) = DFT [x (n)] = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) .W_n ^ { -nk}; \ quad k = 0,1,…., N − 1 $

$ x (n) = IDFT [X (k)] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (k) .W_N ^ {- nk}; \ quad n = 0,1,…., N − 1 $

Note- Il calcolo della DFT può essere eseguito con la moltiplicazione del complesso N ² e l'addizione del complesso N (N-1).

$ x_N = \ begin {bmatrix} x (0) \\ x (1) \\. \\. \\ x (N-1) \ end {bmatrix} \ quad N \ quad point \ quad vector \ quad of \ segnale quad \ quad x_N $

$ X_N = \ begin {bmatrix} X (0) \\ X (1) \\. \\. \\ X (N-1) \ end {bmatrix} \ quad N \ quad point \ quad vector \ quad of \ segnale quad \ quad X_N $

$ \ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & ... & ... & 1 \\ 1 & W_N & W_N ^ 2 & ... & ... & W_N ^ {N-1} \\. & W_N ^ 2 & W_N ^ 4 & ... & ... & W_N ^ {2 (N-1)} \\. \\ 1 & W_N ^ {N-1} & W_N ^ {2 (N-1 )} & ... & ... & W_N ^ {(N-1) (N-1)} \ end {bmatrix} $

N - punto DFT nel termine della matrice è dato da - $ X_N = W_Nx_N $

$ W_N \ longmapsto $ Matrice di trasformazione lineare

$ Ora, \ quad x_N = W_N ^ {- 1} X_N $

IDFT in formato Matrix è dato da

$$ x_N = \ frac {1} {N} W_N ^ * X_N $$

Confrontando entrambe le espressioni di $ x_N, \ quad W_N ^ {- 1} = \ frac {1} {N} W_N ^ * $ e $ W_N \ volte W_N ^ * = N [I] _ {N \ volte N} $

Pertanto, $ W_N $ è una matrice di trasformazione lineare, una matrice ortogonale (unitaria).

Dalla proprietà periodica di $ W_N $ e dalla sua proprietà simmetrica, si può concludere che, $ W_N ^ {k + N / 2} = -W_N ^ k $

Simmetria circolare

DFT a N punti di durata finita x (n) di lunghezza N≤L, è equivalente alla DFT a N punti di estensione periodica di x (n), cioè $ x_p (n) $ del periodo N. e $ x_p ( n) = \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (n-Nl) $. Ora, se spostiamo la sequenza, che è una sequenza periodica di k unità a destra, si ottiene un'altra sequenza periodica. Questo è noto come spostamento circolare e questo è dato da,

$$ x_p ^ \ prime (n) = x_p (nk) = \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (nk-Nl) $$

La nuova sequenza finita può essere rappresentata come

$$ x_p ^ \ prime (n) = \ begin {cases} x_p ^ \ prime (n), & 0 \ leq n \ leq N-1 \\ 0 & Altrimenti \ end {cases} $$

Example - Sia x (n) = {1,2,4,3}, N = 4,

$ x_p ^ \ prime (n) = x (nk, modulo \ quad N) \ equiv x ((nk)) _ N \ quad; ex-if \ quad k = 2i.e \ quad 2 \ quad unit \ quad right \ quad shift \ quad e \ quad N = 4, $

Preso senso orario come direzione positiva.

Abbiamo, $ x \ prime (n) = x ((n-2)) _ 4 $

$ x \ prime (0) = x ((- 2)) _ 4 = x (2) = 4 $

$ x \ prime (1) = x ((- 1)) _ 4 = x (3) = 3 $

$ x \ prime (2) = x ((- 2)) _ 4 = x (0) = 1 $

$ x \ prime (3) = x ((1)) _ 4 = x (1) = 2 $

Conclusion - Lo spostamento circolare della sequenza N punti è equivalente a uno spostamento lineare della sua estensione periodica e viceversa.

Sequenza circolare uniforme - $ x (Nn) = x (n), \ quad 1 \ leq n \ leq N-1 $

$ iex_p (n) = x_p (-n) = x_p (Nn) $

Coniuga anche - $ x_p (n) = x_p ^ * (Nn) $

Sequenza circolarmente dispari - $ x (Nn) = -x (n), \ quad 1 \ leq n \ leq N-1 $

$ iex_p (n) = -x_p (-n) = -x_p (Nn) $

Coniuga dispari - $ x_p (n) = -x_p ^ * (Nn) $

Ora, $ x_p (n) = x_ {pe} + x_ {po} (n) $, dove,

$ x_ {pe} (n) = \ frac {1} {2} [x_p (n) + x_p ^ * (Nn)] $

$ x_ {po} (n) = \ frac {1} {2} [x_p (n) -x_p ^ * (Nn)] $

Per ogni segnale reale x (n), $ X (k) = X ^ * (Nk) $

$ X_R (k) = X_R (Nk) $

$ X_l (k) = -X_l (Nk) $

$ \ angolo X (k) = - \ angolo X (NK) $

Time reversal- invertendo il campione intorno allo 0 ^° campione. Questo è dato come;

$ x ((- n)) _ N = x (Nn), \ quad 0 \ leq n \ leq N-1 $

L'inversione del tempo consiste nel tracciare campioni di sequenza, in senso orario, cioè in direzione negativa.

Alcune altre proprietà importanti

Altre importanti proprietà IDFT $ x (n) \ longleftrightarrow X (k) $

• Time reversal - $ x ((- n)) _ N = x (Nn) \ longleftrightarrow X ((- k)) _ N = X (Nk) $

• Circular time shift - $ x ((nl)) _ N \ longleftrightarrow X (k) e ^ {j2 \ pi lk / N} $

• Circular frequency shift - $ x (n) e ^ {j2 \ pi ln / N} \ longleftrightarrow X ((kl)) _ N $

• Complex conjugate properties -

  $ x ^ * (n) \ longleftrightarrow X ^ * ((- k)) _ N = X ^ * (Nk) \ quad e $

  $ x ^ * ((- n)) _ N = x ^ * (Nn) \ longleftrightarrow X ^ * (- k) $

• Multiplication of two sequence -

  $ x_1 (n) \ longleftrightarrow X_1 (k) \ quad e \ quad x_2 (n) \ longleftrightarrow X_2 (k) $

  $ \ quindi x_1 (n) x_2 (n) \ longleftrightarrow X_1 (k) \ quadⓃ X_2 (k) $

• Circular convolution - e moltiplicazione di due DFT

  $ x_1 (k) \ quad Ⓝ x_2 (k) = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} x_1 (n) .x_2 ((mn)) _ n, \ quad m = 0,1,2 ,. ..., N-1 $

  $ x_1 (k) \ quad Ⓝ x_2 (k) \ longleftrightarrow X_1 (k) .X_2 (k) $

• Circular correlation - Se $ x (n) \ longleftrightarrow X (k) $ e $ y (n) \ longleftrightarrow Y (k) $, allora esiste una sequenza di correlazione incrociata indicata come $ \ bar Y_ {xy} $ tale che $ \ bar Y_ {xy} (l) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * ((nl)) _ N = X (k) .Y ^ * (k) $

• Parseval’s Theorem - Se $ x (n) \ longleftrightarrow X (k) $ e $ y (n) \ longleftrightarrow Y (k) $;

  $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * (n) = \ frac {1} {N} \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ { N-1} X (k) .Y ^ * (k) $