DSP - Filtraggio lineare DFT

DFT fornisce un approccio alternativo alla convoluzione nel dominio del tempo. Può essere utilizzato per eseguire filtri lineari nel dominio della frequenza.

Quindi, $ Y (\ omega) = X (\ omega) .H (\ omega) \ longleftrightarrow y (n) $ .

Il problema in questo approccio nel dominio della frequenza è che $ Y (\ omega) $, $ X (\ omega) $ e $ H (\ omega) $ sono una funzione continua di ω, che non è fruttuosa per il calcolo digitale sui computer. Tuttavia, DFT fornisce una versione campionata di queste forme d'onda per risolvere lo scopo.

Il vantaggio è che, avendo conoscenza di tecniche DFT più veloci come FFT, è possibile sviluppare un algoritmo computazionalmente più efficiente per il calcolo digitale del computer rispetto all'approccio nel dominio del tempo.

Considera una sequenza di durata finita, $ [x (n) = 0, \ quad for, n <0 \ quad e \ quad n \ geq L] $ (equazione generalizzata), eccita un filtro lineare con risposta all'impulso $ [h (n ) = 0, \ quad forn <0 \ quad e \ quad n \ geq M] $.

$$ x (n) y (n) $$ $$ output = y (n) = \ sum_ {k = 0} ^ {M-1} h (k) .x (nk) $$

Dall'analisi della convoluzione è chiaro che la durata di y (n) è L + M − 1.

Nel dominio della frequenza,

$$ Y (\ omega) = X (\ omega) .H (\ omega) $$

Ora, $ Y (\ omega) $ è una funzione continua di ω ed è campionato a un insieme di frequenze discrete con un numero di campioni distinti che deve essere uguale o superiore a $ L + M-1 $.

$$ DFT \ dimensione quadrupla = N \ geq L + M-1 $$

Con $ \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $,

$ Y (\ omega) = X (k) .H (k) $, dove k = 0,1,…., N-1

Dove, X (k) e H (k) sono DFT a N punti di x (n) e h (n) rispettivamente. $ x (n) \ & h (n) $ sono riempiti con zeri fino alla lunghezza N. Non distorce gli spettri continui $ X (\ omega) $ e $ H (\ omega) $. Poiché $ N \ geq L + M-1 $, N punti DFT della sequenza di output y (n) è sufficiente per rappresentare y (n) nel dominio della frequenza e questi fatti inferiscono che la moltiplicazione di N punti DFT di X (k ) e H (k), seguito dal calcolo di N punti IDFT devono restituire y (n).

Ciò implica una convoluzione circolare in N punti di x (n) e H (n) con riempimento zero, uguale alla convoluzione lineare di x (n) e h (n).

Pertanto, DFT può essere utilizzato per il filtraggio lineare.

Caution- N dovrebbe sempre essere maggiore o uguale a $ L + M-1 $. Altrimenti, l'effetto di aliasing corromperà la sequenza di output.