DSP - Z-Transform Existence

Un sistema, che ha una funzione di sistema, può essere stabile solo se tutti i poli si trovano all'interno del cerchio unitario. In primo luogo, controlliamo se il sistema è causale o meno. Se il sistema è causale, allora andiamo per la sua determinazione della stabilità BIBO; dove la stabilità BIBO si riferisce all'ingresso limitato per la condizione di uscita limitata.

Questo può essere scritto come;

$ Mod (X (Z)) <\ infty $

$ = Mod (\ sum x (n) Z ^ {- n}) <\ infty $

$ = \ sum Mod (x (n) Z ^ {- n}) <\ infty $

$ = \ sum Mod [x (n) (re ^ {jw}) ^ {- n}] <0 $

$ = \ sum Mod [x (n) r ^ {- n}] Mod [e ^ {- jwn}] <\ infty $

$ = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty Mod [x (n) r ^ {- n}] <\ infty $

L'equazione sopra mostra la condizione per l'esistenza della trasformata Z.

Tuttavia, la condizione per l'esistenza del segnale DTFT è

$$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty Mod (x (n) <\ infty $$

Esempio 1

Proviamo a scoprire la trasformata Z del segnale, che è data come

$ x (n) = - (- 0,5) ^ {- n} u (-n) + 3 ^ nu (n) $

$ = - (- 2) ^ nu (n) + 3 ^ nu (n) $

Solution - Qui, per $ - (- 2) ^ nu (n) $ il ROC è Left sided e Z <2

Per $ 3 ^ nu (n) $ ROC è il lato destro e Z> 3

Quindi, qui la trasformata Z del segnale non esisterà perché non esiste una regione comune.

Esempio 2

Proviamo a scoprire la trasformata Z del segnale dato da

$ x (n) = -2 ^ nu (-n-1) + (0,5) ^ nu (n) $

Solution - Qui, per $ -2 ^ nu (-n-1) $ ROC del segnale è Left sided e Z <2

Per il segnale $ (0,5) ^ nu (n) $ ROC è il lato destro e Z> 0,5

Quindi, il ROC comune formato come 0,5 <Z <2

Pertanto, la trasformazione Z può essere scritta come;

$ X (Z) = \ lbrace \ frac {1} {1-2Z ^ {- 1}} \ rbrace + \ lbrace \ frac {1} {(1-0.5Z) ^ {- 1}} \ rbrace $

Esempio 3

Proviamo a trovare la trasformata Z del segnale, che è data come $ x (n) = 2 ^ {r (n)} $

Solution- r (n) è il segnale di rampa. Quindi il segnale può essere scritto come;

$ x (n) = 2 ^ {nu (n)} \ lbrace 1, n <0 (u (n) = 0) \ quad e \ quad2 ^ n, n \ geq 0 (u (n) = 1) \ rbrace $

$ = u (-n-1) + 2 ^ nu (n) $

Qui, per il segnale $ u (-n-1) $ e ROC Z <1 e per $ 2 ^ nu (n) $ con ROC è Z> 2.

Quindi, la trasformazione Z del segnale non esisterà.

Z-Trasforma per il sistema causale

Il sistema causale può essere definito come $ h (n) = 0, n <0 $. Per il sistema causale, ROC sarà al di fuori del cerchio nel piano Z.

$ H (Z) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {\ infty} h (n) Z ^ {- n} $

Espandendo l'equazione di cui sopra,

$ H (Z) = h (0) + h (1) Z ^ {- 1} + h (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... $

$ = N (Z) / D (Z) $

Per i sistemi causali, l'espansione della funzione di trasferimento non include i poteri positivi di Z. Per il sistema causale, l'ordine del numeratore non può superare l'ordine del denominatore. Questo può essere scritto come-

$ \ lim_ {z \ rightarrow \ infty} H (Z) = h (0) = 0 \ quad o \ quad Finite $

Per la stabilità del sistema causale, i poli della funzione di trasferimento dovrebbero essere all'interno del cerchio unitario nel piano Z.

Trasformata Z per il sistema anti-causale

Il sistema anti-causale può essere definito come $ h (n) = 0, n \ geq 0 $. Per il sistema Anti-causale, i poli della funzione di trasferimento dovrebbero trovarsi al di fuori del cerchio unitario nel piano Z. Per il sistema anti-causale, ROC sarà all'interno del cerchio nel piano Z.