DSP - Introduzione alla trasformazione Z.
La trasformata discreta di Fourier (DTFT) esiste per i segnali di energia e potenza. La trasformata Z non esiste anche per segnali di tipo energia o potenza (NENP), solo fino a un certo punto. La sostituzione $ z = e ^ {jw} $ viene utilizzata per la conversione da trasformazione Z a DTFT solo per segnali assolutamente sommabili.
Quindi, la trasformata Z del segnale temporale discreto x (n) in una serie di potenze può essere scritta come -
$$ X (z) = \ sum_ {n- \ infty} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $$L'equazione di cui sopra rappresenta un'equazione di trasformazione Z bilaterale.
Generalmente, quando un segnale viene trasformato in Z, può essere rappresentato come:
$$ X (Z) = Z [x (n)] $$Oppure $ x (n) \ longleftrightarrow X (Z) $
Se si tratta di un segnale temporale continuo, le trasformazioni Z non sono necessarie perché vengono utilizzate le trasformazioni di Laplace. Tuttavia, i segnali a tempo discreto possono essere analizzati solo tramite trasformate Z.
Regione di Convergenza
La regione di convergenza è l'intervallo della variabile complessa Z nel piano Z. La trasformazione Z del segnale è finita o convergente. Quindi, ROC rappresenta quell'insieme di valori di Z, per cui X (Z) ha un valore finito.
Proprietà di ROC
- ROC non include alcun palo.
- Per il segnale del lato destro, ROC sarà fuori dal cerchio nel piano Z.
- Per il segnale sul lato sinistro, ROC sarà all'interno del cerchio nel piano Z.
- Per la stabilità, ROC include il cerchio unitario nel piano Z.
- Per il segnale su entrambi i lati, ROC è un anello nel piano Z.
- Per il segnale di durata finita, ROC è l'intero piano Z.
La trasformata Z è caratterizzata in modo univoco da:
- Espressione di X (Z)
- ROC di X (Z)
Segnali e loro ROC
| x (n) | X (Z) | ROC |
|---|---|---|
| $ \ delta (n) $ | $ 1 $ | Intero piano Z. |
| $ U (n) $ | $ 1 / (1-Z ^ {- 1}) $ | Mod (Z)> 1 |
| $ a ^ nu (n) $ | $ 1 / (1-aZ ^ {- 1}) $ | Mod (Z)> Mod (a) |
| $ -a ^ nu (-n-1) $ | $ 1 / (1-aZ ^ {- 1}) $ | Mod (Z) <Mod (a) |
| $ na ^ nu (n) $ | $ aZ ^ {- 1} / (1-aZ ^ {- 1}) ^ 2 $ | Mod (Z)> Mod (a) |
| $ -a ^ nu (-n-1) $ | $ aZ ^ {- 1} / (1-aZ ^ {- 1}) ^ 2 $ | Mod (Z) <Mod (a) |
| $ U (n) \ cos \ omega n $ | $ (Z ^ 2-Z \ cos \ omega) / (Z ^ 2-2Z \ cos \ omega +1) $ | Mod (Z)> 1 |
| $ U (n) \ sin \ omega n $ | $ (Z \ sin \ omega) / (Z ^ 2-2Z \ cos \ omega +1) $ | Mod (Z)> 1 |
Esempio
Troviamo la trasformata Z e il ROC di un segnale dato come $ x (n) = \ lbrace 7,3,4,9,5 \ rbrace $, dove l'origine della serie è a 3.
Solution - Applicando la formula che abbiamo -
$ X (z) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $
$ = \ sum_ {n = -1} ^ 3 x (n) Z ^ {- n} $
$ = x (-1) Z + x (0) + x (1) Z ^ {- 1} + x (2) Z ^ {- 2} + x (3) Z ^ {- 3} $
$ = 7Z + 3 + 4Z ^ {- 1} + 9Z ^ {- 2} + 5Z ^ {- 3} $
ROC è l'intero piano Z escludendo Z = 0, ∞, -∞