DSP - Proprietà della trasformazione Z.
In questo capitolo capiremo le proprietà di base delle trasformate Z.
Linearità
Afferma che quando due o più segnali discreti individuali vengono moltiplicati per costanti, anche le rispettive trasformate Z verranno moltiplicate per le stesse costanti.
Matematicamente,
$$ a_1x_1 (n) + a_2x_2 (n) = a_1X_1 (z) + a_2X_2 (z) $$Proof - Lo sappiamo,
$$ X (Z) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $$$ = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty (a_1x_1 (n) + a_2x_2 (n)) Z ^ {- n} $
$ = a_1 \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_1 (n) Z ^ {- n} + a_2 \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_2 (n) Z ^ {- n} $
$ = a_1X_1 (z) + a_2X_2 (z) $ (quindi dimostrato)
Qui, il ROC è $ ROC_1 \ bigcap ROC_2 $.
Tempo di spostamento
La proprietà Time shifting descrive come il cambiamento nel dominio del tempo nel segnale discreto influenzerà il dominio Z, che può essere scritto come;
$$ x (n-n_0) \ longleftrightarrow X (Z) Z ^ {- n} $$Oppure $ x (n-1) \ longleftrightarrow Z ^ {- 1} X (Z) $
Proof -
Sia $ y (P) = X (PK) $
$ Y (z) = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty y (p) Z ^ {- p} $
$ = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty (x (pk)) Z ^ {- p} $
Sia s = pk
$ = \ sum_ {s = - \ infty} ^ \ infty x (s) Z ^ {- (s + k)} $
$ = \ sum_ {s = - \ infty} ^ \ infty x (s) Z ^ {- s} Z ^ {- k} $
$ = Z ^ {- k} [\ sum_ {s = - \ infty} ^ \ infty x (m) Z ^ {- s}] $
$ = Z ^ {- k} X (Z) $ (quindi dimostrato)
Qui, ROC può essere scritto come Z = 0 (p> 0) o Z = ∞ (p <0)
Esempio
U (n) e U (n-1) possono essere tracciati come segue
La trasformazione Z di U (n) cabina deve essere scritta come;
$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty [U (n)] Z ^ {- n} = 1 $
La trasformazione Z di U (n-1) può essere scritta come;
$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty [U (n-1)] Z ^ {- n} = Z ^ {- 1} $
Quindi qui $ x (n-n_0) = Z ^ {- n_0} X (Z) $ (quindi dimostrato)
Scala temporale
La proprietà Time Scaling ci dice quale sarà il dominio Z del segnale quando il tempo viene scalato nella sua forma discreta, che può essere scritta come;
$$ a ^ nx (n) \ longleftrightarrow X (a ^ {- 1} Z) $$Proof -
Sia $ y (p) = a ^ {p} x (p) $
$ Y (P) = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty y (p) Z ^ {- p} $
$ = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty a ^ px (p) Z ^ {- p} $
$ = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty x (p) [a ^ {- 1} Z] ^ {- p} $
$ = X (a ^ {- 1} Z) $ (quindi dimostrato)
ROC: = Mod (ar1) <Mod (Z) <Mod (ar2) dove Mod = Modulo
Esempio
Determiniamo la trasformazione Z di $ x (n) = a ^ n \ cos \ omega n $ usando la proprietà Time scaling.
Solution -
Sappiamo già che la trasformazione Z del segnale $ \ cos (\ omega n) $ è data da -
$$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty (\ cos \ omega n) Z ^ {- n} = (Z ^ 2-Z \ cos \ omega) / (Z ^ 2-2Z \ cos \ omega +1) $$
Ora, applicando la proprietà Time scaling, la trasformazione Z di $ a ^ n \ cos \ omega n $ può essere scritta come;
$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty (a ^ n \ cos \ omega n) Z ^ {- n} = X (a ^ {- 1} Z) $
$ = [(a ^ {- 1} Z) ^ 2- (a ^ {- 1} Z \ cos \ omega n)] / ((a ^ {- 1} Z) ^ 2-2 (a ^ {- 1} Z \ cos \ omega n) +1) $
$ = Z (Za \ cos \ omega) / (Z ^ 2-2az \ cos \ omega + a ^ 2) $
Differenziazione successiva
La proprietà Successive Differentiation mostra che la trasformata Z avrà luogo quando differenziamo il segnale discreto nel dominio del tempo, rispetto al tempo. Questo è mostrato come sotto.
$$ \ frac {dx (n)} {dn} = (1-Z ^ {- 1}) X (Z) $$Proof -
Considera il LHS dell'equazione - $ \ frac {dx (n)} {dn} $
$$ = \ frac {[x (n) -x (n-1)]} {[n- (n-1)]} $$$ = x (n) -X (n-1) $
$ = x (Z) -Z ^ {- 1} x (Z) $
$ = (1-Z ^ {- 1}) x (Z) $ (quindi dimostrato)
ROC: R1 <Mod (Z) <R2
Esempio
Cerchiamo di trovare la trasformata Z di un segnale dato da $ x (n) = n ^ 2u (n) $
Per proprietà possiamo scrivere
$ Zz [nU (n)] = -Z \ frac {dZ [U (n)]} {dz} $
$ = -Z \ frac {d [\ frac {Z} {Z-1}]} {dZ} $
$ = Z / ((Z-1) ^ 2 $
$ = y (let) $
Ora, Z [ny] può essere scoperto applicando nuovamente la proprietà,
$ Z (n, y) = -Z \ frac {dy} {dz} $
$ = -Z \ frac {d [Z / (Z-1) ^ 3]} {dz} $
$ = Z (Z + 1) / (Z-1) ^ 2 $
Convoluzione
Questo rappresenta il cambiamento nel dominio Z del sistema quando si verifica una convoluzione nella forma del segnale discreto, che può essere scritta come:
$ x_1 (n) * x_2 (n) \ longleftrightarrow X_1 (Z) .X_2 (Z) $
Proof -
$ X (Z) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $
$ = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty [\ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) x_2 (nk)] Z ^ {- n} $
$ = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) [\ sum_n ^ \ infty x_2 (nk) Z ^ {- n}] $
$ = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) [\ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_2 (nk) Z ^ {- (nk)} Z ^ {- k}] $
Sia nk = l, quindi l'equazione precedente cab sia scritta come -
$ X (Z) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) [Z ^ {- k} \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x_2 (l) Z ^ {- l }] $
$ = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) X_2 (Z) Z ^ {- k} $
$ = X_2 (Z) \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (Z) Z ^ {- k} $
$ = X_1 (Z) .X_2 (Z) $ (quindi dimostrato)
ROC: $ ROC \ bigcap ROC2 $
Esempio
Troviamo la convoluzione data da due segnali
$ x_1 (n) = \ lbrace 3, -2,2 \ rbrace $ ... (eq. 1)
$ x_2 (n) = \ lbrace 2,0 \ leq 4 \ quad e \ quad 0 \ quad altrove \ rbrace $ ... (eq. 2)
La trasformazione Z della prima equazione può essere scritta come;
$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_1 (n) Z ^ {- n} $
$ = 3-2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} $
La trasformazione Z del secondo segnale può essere scritta come;
$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_2 (n) Z ^ {- n} $
$ = 2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} + 2Z ^ {- 3} + 2Z ^ {- 4} $
Quindi, la convoluzione dei due segnali precedenti è data da:
$ X (Z) = [x_1 (Z) ^ * x_2 (Z)] $
$ = [3-2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2}] \ times [2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} + 2Z ^ {- 3} + 2Z ^ {- 4 }] $
$ = 6 + 2Z ^ {- 1} + 6Z ^ {- 2} + 6Z ^ {- 3} + ... \ quad ... \ quad ... $
Prendendo la trasformazione Z inversa che otteniamo,
$ x (n) = \ lbrace 6,2,6,6,6,0,4 \ rbrace $
Teorema del valore iniziale
Se x (n) è una successione causale, che ha la sua trasformazione Z come X (z), allora il teorema del valore iniziale può essere scritto come;
$ X (n) (a \ quad n = 0) = \ lim_ {z \ a \ infty} X (z) $
Proof - Lo sappiamo,
$ X (Z) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $
Espandendo la serie di cui sopra, otteniamo;
$ = X (0) Z ^ 0 + X (1) Z ^ {- 1} + X (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... $
$ = X (0) \ times 1 + X (1) Z ^ {- 1} + X (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... $
Nel caso precedente se Z → ∞ allora $ Z ^ {- n} \ rightarrow 0 $ (perché n> 0)
Pertanto, possiamo dire;
$ \ lim_ {z \ to \ infty} X (z) = X (0) $ (quindi dimostrato)
Teorema del valore finale
Il Teorema del valore finale afferma che se la trasformata Z di un segnale è rappresentata come X (Z) ei poli sono tutti all'interno del cerchio, il suo valore finale è indicato come x (n) o X (∞) e può essere scritto come -
$ X (\ infty) = \ lim_ {n \ to \ infty} X (n) = \ lim_ {z \ to 1} [X (Z) (1-Z ^ {- 1})] $
Conditions -
- È applicabile solo per i sistemi causali.
- $ X (Z) (1-Z ^ {- 1}) $ dovrebbe avere poli all'interno del cerchio unitario nel piano Z.
Proof - Lo sappiamo
$ Z ^ + [x (n + 1) -x (n)] = \ lim_ {k \ to \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ kZ ^ {- n} [x (n + 1) -x (n)] $
$ \ Freccia destra Z ^ + [x (n + 1)] - Z ^ + [x (n)] = \ lim_ {k \ to \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ kZ ^ {- n} [x (n + 1) -x (n)] $
$ \ Freccia destra Z [X (Z) ^ + - x (0)] - X (Z) ^ + = \ lim_ {k \ to \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ kZ ^ {- n} [x (n + 1) -x (n)] $
Qui, possiamo applicare la proprietà avanzata della trasformazione Z unilaterale. Quindi, l'equazione di cui sopra può essere riscritta come;
$ Z ^ + [x (n + 1)] = Z [X (2) ^ + - x (0) Z ^ 0] = Z [X (Z) ^ + - x (0)] $
Ora mettendo z = 1 nell'equazione sopra, possiamo espandere l'equazione sopra -
$ \ lim_ {k \ to \ infty} {[x (1) -x (0) + x (6) -x (1) + x (3) -x (2) + ... \ quad ... \ quad ... + x (x + 1) -x (k)]} $
Questo può essere formulato come;
$ X (\ infty) = \ lim_ {n \ to \ infty} X (n) = \ lim_ {z \ to 1} [X (Z) (1-Z ^ {- 1})] $ (quindi dimostrato)
Esempio
Troviamo il valore Iniziale e Finale di x (n) il cui segnale è dato da
$ X (Z) = 2 + 3Z ^ {- 1} + 4Z ^ {- 2} $
Solution - Per prima cosa, troviamo il valore iniziale del segnale applicando il teorema
$ x (0) = \ lim_ {z \ to \ infty} X (Z) $
$ = \ lim_ {z \ to \ infty} [2 + 3Z ^ {- 1} + 4Z ^ {- 2}] $
$ = 2 + (\ frac {3} {\ infty}) + (\ frac {4} {\ infty}) = 2 $
Cerchiamo ora di trovare il valore finale del segnale applicando il teorema
$ x (\ infty) = \ lim_ {z \ to \ infty} [(1-Z ^ {- 1}) X (Z)] $
$ = \ lim_ {z \ to \ infty} [(1-Z ^ {- 1}) (2 + 3Z ^ {- 1} + 4Z ^ {- 2})] $
$ = \ lim_ {z \ to \ infty} [2 + Z ^ {- 1} + Z ^ {- 2} -4Z ^ {- 3}] $
$ = 2 + 1 + 1-4 = 0 $
Some other properties of Z-transform are listed below -
Differenziazione in frequenza
Fornisce la variazione nel dominio Z del segnale, quando il suo segnale discreto è differenziato rispetto al tempo.
$ nx (n) \ longleftrightarrow -Z \ frac {dX (z)} {dz} $
Il suo ROC può essere scritto come;
$ r_2 <Mod (Z) <r_1 $
Esempio
Troviamo il valore di x (n) tramite Differenziazione in frequenza, il cui segnale discreto nel dominio Z è dato da $ x (n) \ longleftrightarrow X (Z) = log (1 + aZ ^ {- 1}) $
Per proprietà, possiamo scriverlo
$ nx (n) \ longleftrightarrow -Z \ frac {dx (Z)} {dz} $
$ = -Z [\ frac {-aZ ^ {- 2}} {1 + aZ ^ {- 1}}] $
$ = (aZ ^ {- 1}) / (1 + aZ ^ {- 1}) $
$ = 1-1 / (1 + aZ ^ {- 1}) $
$ nx (n) = \ delta (n) - (- a) ^ nu (n) $
$ \ Freccia destra x (n) = 1 / n [\ delta (n) - (- a) ^ nu (n)] $
Moltiplicazione nel tempo
Fornisce la variazione nel dominio Z del segnale quando la moltiplicazione avviene a livello di segnale discreto.
$ x_1 (n) .x_2 (n) \ longleftrightarrow (\ frac {1} {2 \ Pi j}) [X1 (Z) * X2 (Z)] $
Coniugazione nel tempo
Questo raffigura la rappresentazione del segnale discreto coniugato nel dominio Z.
$ X ^ * (n) \ longleftrightarrow X ^ * (Z ^ *) $