DSP - Trasformazione Z inversa
Se vogliamo analizzare un sistema, che è già rappresentato nel dominio della frequenza, come segnale temporale discreto, allora andiamo per la trasformazione Z inversa.
Matematicamente, può essere rappresentato come;
$$ x (n) = Z ^ {- 1} X (Z) $$dove x (n) è il segnale nel dominio del tempo e X (Z) è il segnale nel dominio della frequenza.
Se vogliamo rappresentare l'equazione di cui sopra in formato integrale, possiamo scriverla come
$$ x (n) = (\ frac {1} {2 \ Pi j}) \ oint X (Z) Z ^ {- 1} dz $$Qui, l'integrale è su un percorso chiuso C. Questo percorso è all'interno del ROC della x (z) e contiene l'origine.
Metodi per trovare la trasformazione Z inversa
Quando l'analisi è necessaria in formato discreto, convertiamo nuovamente il segnale nel dominio della frequenza in formato discreto tramite trasformazione Z inversa. Seguiamo i seguenti quattro modi per determinare la trasformazione Z inversa.
- Metodo di divisione lunga
- Metodo di espansione della frazione parziale
- Metodo del residuo o del contorno integrale
Metodo di divisione lunga
In questo metodo, la trasformata Z del segnale x (z) può essere rappresentata come il rapporto del polinomio come mostrato di seguito;
$$ x (z) = N (Z) / D (Z) $$Ora, se continuiamo a dividere il numeratore per denominatore, otterremo una serie come mostrato di seguito
$$ X (z) = x (0) + x (1) Z ^ {- 1} + x (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... $$La sequenza di cui sopra rappresenta la serie di trasformata Z inversa del segnale dato (per n≥0) e il sistema di cui sopra è causale.
Tuttavia per n <0 la serie può essere scritta come;
$$ x (z) = x (-1) Z ^ 1 + x (-2) Z ^ 2 + x (-3) Z ^ 3 + ... \ quad ... \ quad ... $$Metodo di espansione della frazione parziale
Anche qui il segnale è espresso prima nella forma N (z) / D (z).
Se è una frazione razionale sarà rappresentata come segue;
$ x (z) = b_0 + b_1Z ^ {- 1} + b_2Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... + b_mZ ^ {- m}) / (a_0 + a_1Z ^ { -1} + a_2Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... + a_nZ ^ {- N}) $
Quello sopra è improprio quando m <ne un ≠ 0
Se il rapporto non è corretto (cioè improprio), dobbiamo convertirlo nella forma corretta per risolverlo.
Metodo del residuo o del contorno integrale
In questo metodo, otteniamo la trasformata Z inversa x (n) sommando i residui di $ [x (z) Z ^ {n-1}] $ a tutti i poli. Matematicamente, questo può essere espresso come
$$ x (n) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {all \ quad poles \ quad X (z)} residui \ quad of [x (z) Z ^ {n-1}] $$Qui, il residuo per ogni polo dell'ordine m in $ z = \ beta $ è
$$ Residues = \ frac {1} {(m-1)!} \ Lim_ {Z \ rightarrow \ beta} \ lbrace \ frac {d ^ {m-1}} {dZ ^ {m-1}} \ lbrace (z- \ beta) ^ mX (z) Z ^ {n-1} \ rbrace $$