DSP - Operazioni sulla convoluzione dei segnali

La convoluzione di due segnali nel dominio del tempo è equivalente alla moltiplicazione della loro rappresentazione nel dominio della frequenza. Matematicamente, possiamo scrivere la convoluzione di due segnali come

$$ y (t) = x_ {1} (t) * x_ {2} (t) $$ $$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_ {1} (p) .x_ {2 } (tp) dp $$

Passaggi per la convoluzione

  • Prendi il segnale x 1 (t) e metti t = p in modo che sia x 1 (p).
  • Prendi il segnale x 2 (t) e fai il passaggio 1 e rendilo x 2 (p).
  • Effettua il ripiegamento del segnale, ad esempio x 2 (-p).
  • Effettua lo spostamento temporale del segnale precedente x 2 [- (pt)]
  • Quindi fai la moltiplicazione di entrambi i segnali. cioè $ x_ {1} (p) .x_ {2} [- (p − t)] $

Esempio

Facciamo la convoluzione di un segnale a gradino u (t) con il suo genere.

$ y (t) = u (t) * u (t) $

$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} [u (p) .u [- (pt)] dp $

Ora questo t può essere maggiore o minore di zero, come mostrato nelle figure seguenti

Quindi, con il caso precedente, il risultato si presenta con le seguenti possibilità

$ y (t) = \ begin {cases} 0, & if \ quad t <0 \\\ int_ {0} ^ {t} 1dt, & for \ quad t> 0 \ end {cases} $

$ = \ begin {cases} 0, & if \ quad t <0 \\ t, & t> 0 \ end {cases} = r (t) $

Proprietà della convoluzione

Commutativo

Afferma che l'ordine di convoluzione non ha importanza, il che può essere mostrato matematicamente come

$$ x_ {1} (t) * x_ {2} (t) = x_ {2} (t) * x_ {1} (t) $$

Associativo

Afferma che l'ordine di convoluzione che coinvolge tre segnali può essere qualsiasi cosa. Matematicamente, può essere mostrato come;

$$ x_ {1} (t) * [x_ {2} (t) * x_ {3} (t)] = [x_ {1} (t) * x_ {2} (t)] * x_ {3} (t) $$

Distributivo

Prima possono essere aggiunti due segnali, quindi la loro convoluzione può essere effettuata al terzo segnale. Ciò equivale alla convoluzione di due segnali singolarmente con il terzo segnale e aggiunti alla fine. Matematicamente, questo può essere scritto come;

$$ x_ {1} (t) * [x_ {2} (t) + x_ {3} (t)] = [x_ {1} (t) * x_ {2} (t) + x_ {1} ( t) * x_ {3} (t)] $$

La zona

Se un segnale è il risultato della convoluzione di due segnali, l'area del segnale è la moltiplicazione di quei segnali individuali. Matematicamente questo può essere scritto

Se $ y (t) = x_ {1} * x_ {2} (t) $

Quindi, Area di y (t) = Area di x 1 (t) X Area di x 2 (t)

Ridimensionamento

Se due segnali vengono ridimensionati a una costante sconosciuta "a" e viene eseguita la convoluzione, anche il segnale risultante verrà convoluto alla stessa costante "a" e sarà diviso per quella quantità come mostrato di seguito.

Se $ x_ {1} (t) * x_ {2} (t) = y (t) $

Quindi, $ x_ {1} (a) * x_ {2} (a) = \ frac {y (a)} {a}, a \ ne 0 $

Ritardo

Supponiamo che un segnale y (t) sia il risultato della convoluzione di due segnali x1 (t) e x2 (t). Se i due segnali sono ritardati rispettivamente del tempo t1 e t2, il segnale risultante y (t) sarà ritardato di (t1 + t2). Matematicamente, può essere scritto come -

Se $ x_ {1} (t) * x_ {2} (t) = y (t) $

Quindi, $ x_ {1} (t-t_ {1}) * x_ {2} (t-t_ {2}) = y [t- (t_ {1} + t_ {2})] $

Esempi risolti

Example 1 - Trova la convoluzione dei segnali u (t-1) eu (t-2).

Solution- I segnali dati sono u (t-1) eu (t-2). La loro convoluzione può essere eseguita come mostrato di seguito:

$ y (t) = u (t-1) * u (t-2) $

$ y (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} [u (t-1) .u (t-2)] dt $

$ = r (t-1) + r (t-2) $

$ = r (t-3) $

Example 2 - Trova la convoluzione di due segnali data da

$x_{1}(n) = \lbrace 3,-2, 2\rbrace $

$ x_ {2} (n) = \ begin {cases} 2, & 0 \ leq n \ leq 4 \\ 0, & x> elsewhere \ end {cases} $

Solution -

x 2 (n) può essere decodificato come $ x_ {2} (n) = \ lbrace 2,2,2,2,2 \ rbrace Originalfirst $

x 1 (n) è stato precedentemente dato $ = \ lbrace 3, -2,3 \ rbrace = 3-2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} $

Allo stesso modo, $ x_ {2} (z) = 2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} + 2Z ^ {- 3} + 2Z ^ {- 4} $

Segnale risultante,

$ X (Z) = X_ {1} (Z) X_ {2} (z) $

$ = \ lbrace 3-2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} \ rbrace \ times \ lbrace 2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} + 2Z ^ {- 3} + 2Z ^ {-4} \ rbrace $

$ = 6 + 2Z ^ {- 1} + 6Z ^ {- 2} + 6Z ^ {- 3} + 6Z ^ {- 4} + 6Z ^ {- 5} $

Prendendo la trasformazione Z inversa di quanto sopra, otterremo il segnale risultante come

$ x (n) = \ lbrace 6,2,6,6,6,0,4 \ rbrace $ Origin al primo

Example 3 - Determina la convoluzione dei seguenti 2 segnali -

$x(n) = \lbrace 2,1,0,1\rbrace$

$h(n) = \lbrace 1,2,3,1\rbrace$

Solution -

Prendendo la trasformazione Z dei segnali, otteniamo,

$ x (z) = 2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 3} $

E $ h (n) = 1 + 2Z ^ {- 1} + 3Z ^ {- 2} + Z ^ {- 3} $

Ora la convoluzione di due segnali significa moltiplicazione delle loro trasformazioni Z.

Questo è $ Y (Z) = X (Z) \ times h (Z) $

$ = \ lbrace 2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 3} \ rbrace \ times \ lbrace 1 + 2Z ^ {- 1} + 3Z ^ {- 2} + Z ^ {- 3} \ rbrace $

$ = \ lbrace 2 + 5Z ^ {- 1} + 8Z ^ {- 2} + 6Z ^ {- 3} + 3Z ^ {- 4} + 3Z ^ {- 5} + Z ^ {- 6} \ rbrace $

Prendendo la trasformazione Z inversa, il segnale risultante può essere scritto come;

$ y (n) = \ lbrace 2,5,8,6,6,1 \ rbrace Originalfirst $