Statistiche - Distribuzione beta

La distribuzione beta rappresenta la distribuzione di probabilità continua parametrizzata da due parametri di forma positivi, $ \ alpha $ e $ \ beta $, che appaiono come esponenti della variabile casuale x e controllano la forma della distribuzione.

Densità di probabilità

La funzione di densità di probabilità della distribuzione Beta è data come:

Formula

$ {f (x) = \ frac {(xa) ^ {\ alpha-1} (bx) ^ {\ beta-1}} {B (\ alpha, \ beta) (ba) ^ {\ alpha + \ beta- 1}} \ hspace {.3in} a \ le x \ le b; \ alpha, \ beta> 0 \\ [7pt] \, dove \ B (\ alpha, \ beta) = \ int_ {0} ^ {1} {t ^ {\ alpha-1} (1-t) ^ { \ beta-1} dt}} $

Dove -

  • $ {\ alpha, \ beta} $ = parametri di forma.

  • $ {a, b} $ = limiti superiore e inferiore.

  • $ {B (\ alpha, \ beta)} $ = funzione Beta.

Distribuzione beta standard

Nel caso in cui i limiti superiore e inferiore siano 1 e 0, la distribuzione beta è chiamata distribuzione beta standard. È guidato dalla seguente formula:

Formula

$ {f (x) = \ frac {x ^ {\ alpha-1} (1-x) ^ {\ beta-1}} {B (\ alpha, \ beta)} \ hspace {.3in} \ le x \ le 1; \ alpha, \ beta> 0} $

Funzione di distribuzione cumulativa

La funzione di distribuzione cumulativa della distribuzione Beta è data come:

Formula

$ {F (x) = I_ {x} (\ alpha, \ beta) = \ frac {\ int_ {0} ^ {x} {t ^ {\ alpha-1} (1-t) ^ {\ beta- 1} dt}} {B (\ alpha, \ beta)} \ hspace {.2in} 0 \ le x \ le 1; p, \ beta> 0} $

Dove -

  • $ {\ alpha, \ beta} $ = parametri di forma.

  • $ {a, b} $ = limiti superiore e inferiore.

  • $ {B (\ alpha, \ beta)} $ = funzione Beta.

È anche chiamato rapporto di funzione beta incompleto.