Statistica - Teorema additivo di probabilità

Per eventi che si escludono a vicenda

Il teorema additivo della probabilità afferma che se A e B sono due eventi che si escludono a vicenda, la probabilità di A o B è data da

$ {P (A \ o \ B) = P (A) + P (B) \\ [7pt] P (A \ cup B) = P (A) + P (B)} $

Il teorema può essere esteso a tre eventi che si escludono a vicenda anche come

$ {P (A \ cup B \ cup C) = P (A) + P (B) + P (C)} $

Esempio

Problem Statement:

Una carta viene estratta da un mazzo di 52, qual è la probabilità che sia un re o una regina?

Solution:

Let Event (A) = Draw of a card of king

Evento (B) Pesca di una carta di regina

P (la carta è il re o la regina) = P (la carta è il re) + P (la carta è la regina)

$ {P (A \ cup B) = P (A) + P (B) \\ [7pt] = \ frac {4} {52} + \ frac {4} {52} \\ [7pt] = \ frac {1} {13} + \ frac {1} {13} \\ [7pt] = \ frac {2} {13}} $

Per eventi non mutuamente esclusivi

Nel caso in cui ci sia la possibilità che si verifichino entrambi gli eventi, il teorema additivo viene scritto come:

$ {P (A \ o \ B) = P (A) + P (B) - P (A \ e \ B) \\ [7pt] P (A \ cup B) = P (A) + P (B ) - P (AB)} $

Esempio

Problem Statement:

Un tiratore è noto per colpire un bersaglio 3 colpi su 7; si sa che un altro tiratore colpisce il bersaglio 2 colpi su 5. Trova la probabilità che il bersaglio venga colpito quando entrambi ci provano.

Solution:

Probabilità che il primo tiratore colpisca il bersaglio P (A) = $ {\ frac {3} {7}} $

Probabilità che il secondo tiratore colpisca il bersaglio P (B) = $ {\ frac {2} {5}} $

Gli eventi A e B non si escludono a vicenda poiché entrambi i tiratori possono colpire il bersaglio. Quindi la regola additiva applicabile è

$ {P (A \ cup B) = P (A) + P (B) - P (A \ cap B) \\ [7pt] = \ frac {3} {7} + \ frac {2} {5} - (\ frac {3} {7} \ times \ frac {2} {5}) \\ [7pt] = \ frac {29} {35} - \ frac {6} {35} \\ [7pt] = \ frac {23} {35}} $