Statistica - Teorema di probabilità di Bayes

Uno degli sviluppi più significativi nel campo delle probabilità è stato lo sviluppo della teoria delle decisioni bayesiane che si è dimostrata di enorme aiuto nel prendere decisioni in condizioni incerte. Il teorema di Bayes è stato sviluppato da un matematico britannico Rev. Thomas Bayes. La probabilità data dal teorema di Bayes è anche conosciuta con il nome di probabilità inversa, probabilità a posteriori o probabilità rivista. Questo teorema trova la probabilità di un evento considerando le informazioni campione fornite; da qui il nome probabilità a posteriori. Il teorema di Bayes si basa sulla formula della probabilità condizionata.

la probabilità condizionale dell'evento $ {A_1} $ dato l'evento $ {B} $ è

$ {P (A_1 / B) = \ frac {P (A_1 \ e \ B)} {P (B)}} $

Allo stesso modo la probabilità dell'evento $ {A_1} $ dato l'evento $ {B} $ è

$ {P (A_2 / B) = \ frac {P (A_2 \ e \ B)} {P (B)}} $

Dove

$ {P (B) = P (A_1 \ e \ B) + P (A_2 \ e \ B) \\ [7pt] P (B) = P (A_1) \ times P (B / A_1) + P (A_2 ) \ times P (BA_2)} $
$ {P (A_1 / B)} $ può essere riscritto come
$ {P (A_1 / B) = \ frac {P (A_1) \ times P (B / A_1)} {P (A_1)} \ times P (B / A_1) + P (A_2) \ times P (BA_2) } $

Quindi la forma generale del teorema di Bayes è

$ {P (A_i / B) = \ frac {P (A_i) \ times P (B / A_i)} {\ sum_ {i = 1} ^ k P (A_i) \ times P (B / A_i)}} $

Dove $ {A_1} $, $ {A_2} $ ... $ {A_i} $ ... $ {A_n} $ sono un insieme di n eventi che si escludono a vicenda ed esaurienti.