Statistiche - Equazione di regressione quadratica

La regressione quadratica viene utilizzata per calcolare un'equazione della parabola che può adattarsi al meglio al dato insieme di dati. È della seguente forma:

$ {y = ax ^ 2 + bx + c \ dove \ a \ ne 0} $

Il metodo dei minimi quadrati può essere utilizzato per scoprire l'equazione della regressione quadratica. In questo metodo, troviamo il valore di a, bec in modo che la distanza verticale al quadrato tra ogni dato punto ($ {x_i, y_i} $) e l'equazione della parabola ($ {y = ax ^ 2 + bx + 2} $) è minimo. L'equazione della matrice per la curva parabolica è data da:

$ {\ begin {bmatrix} \ sum {x_i} ^ 4 & \ sum {x_i} ^ 3 & \ sum {x_i} ^ 2 \\ \ sum {x_i} ^ 3 & \ sum {x_i} ^ 2 & \ sum x_i \\ \ sum {x_i} ^ 2 & \ sum x_i & n \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} a \\ b \\ c \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ sum {x_i} ^ 2 {y_i} \\ \ sum x_iy_i \\ \ sum y_i \ end {bmatrix}} $

Coefficiente di correlazione, r

Il coefficiente di correlazione, r determina quanto un'equazione quardratica può adattarsi ai dati dati. Se r è vicino a 1, allora va bene. r può essere calcolato dalla seguente formula.

$ {r = 1 - \ frac {SSE} {SST} \ where \\ [7pt] \ SSE = \ sum (y_i - a {x_i} ^ 2 - bx + i - c) ^ 2 \\ [7pt] \ SST = \ sum (y_i - \ bar y) ^ 2} $

In genere, i calcolatori di regressione quadratica vengono utilizzati per calcolare l'equazione di regressione quadratica.

Esempio

Problem Statement:

Calcola l'equazione di regressione quadratica dei seguenti dati. Controlla la sua migliore forma fisica.

X -3 -2 -1 0 1 2 3
y 7.5 3 0,5 1 3 6 14

Solution:

Calcola una regressione quadratica sulla calcolatrice inserendo i valori x e y. L'equazione quadratica più adatta per i punti precedenti si presenta come

$ {y = 1,1071x ^ 2 + 0,5714x} $

Per verificare la migliore forma fisica, traccia il grafico.

Quindi il valore del coefficiente di correlazione, r per i dati è 0,99420 ed è vicino a 1. Quindi l'equazione di regressione quadratica è la migliore.