Statistica - Teorema moltiplicativo di probabilità

Per eventi indipendenti

Il teorema afferma che la probabilità del verificarsi simultaneo di due eventi indipendenti è data dal prodotto delle loro probabilità individuali.

$ {P (A \ e \ B) = P (A) \ times P (B) \\ [7pt] P (AB) = P (A) \ times P (B)} $

Il teorema può essere esteso a tre o più eventi indipendenti anche come

$ {P (A \ cap B \ cap C) = P (A) \ times P (B) \ times P (C) P (A, B \ and \ C) = P (A) \ times P (B) \ times P (C)} $

Esempio

Problem Statement:

Un college deve nominare un docente che deve essere B.Com., MBA e Ph. D, la cui probabilità è $ {\ frac {1} {20}} $, $ {\ frac {1} {25} } $ e $ {\ frac {1} {40}} $ rispettivamente. Trova la probabilità che una persona del genere venga nominata dal college.

Solution:

Probabilità che una persona sia B.Com.P (A) = $ {\ frac {1} {20}} $

Probabilità che una persona sia un MBA P (B) = $ {\ frac {1} {25}} $

Probabilità che una persona sia un Ph.DP (C) = $ {\ frac {1} {40}} $

Utilizzo del teorema moltiplicativo per eventi indipendenti

$ {P (A, B \ e \ C) = P (A) \ times P (B) \ times P (C) \\ [7pt] = \ frac {1} {20} \ times \ frac {1} {25} \ times \ frac {1} {40} \\ [7pt] = .05 \ times .04 \ times .025 \\ [7pt] = .00005} $

Per eventi dipendenti (probabilità condizionale)

Come definito in precedenza, gli eventi dipendenti sono quelli in cui il verificarsi o il non verificarsi di un evento influisce sul risultato dell'evento successivo. Per tali eventi il ​​teorema moltiplicativo affermato in precedenza non è applicabile. La probabilità associata a tali eventi è chiamata probabilità condizionata ed è data da

P (A / B) = $ {\ frac {P (AB)} {P (B)}} $ o $ {\ frac {P (A \ cap B)} {P (B)}} $

Leggere P (A / B) come probabilità di accadimento dell'evento A quando l'evento B si è già verificato.

Allo stesso modo la probabilità condizionata di B dato A è

P (B / A) = $ {\ frac {P (AB)} {P (A)}} $ o $ {\ frac {P (A \ cap B)} {P (A)}} $

Esempio

Problem Statement:

Una moneta viene lanciata 2 volte. Il lancio ha provocato una testa e una coda. Qual è la probabilità che il primo lancio abbia prodotto una coda?

Solution:

Lo spazio campionario di una moneta lanciata due volte è dato come S = {HH, HT, TH, TT}

Lascia che l'evento A sia il primo lancio risultante in una coda.

Evento B è che si sono verificate una coda e una testa.

$ {P (A) = \ frac {P (TH, TT)} {P (HH, HT, TH, TT)} = \ frac {2} {4} = \ frac {1} {2} \\ [ 7pt] P (A \ cap B) = \ frac {P (TH)} {P (HH, HT, TH, TT)} = \ frac {1} {4} \\ [7pt] So \ P (A / B) = \ frac {P (A \ cap B)} {P (A)} \\ [7pt] = \ frac {\ frac {1} {4}} {\ frac {1} {2}} \\ [7pt] = \ frac {1} {2} = 0,5} $