Statistiche - Distribuzione chi quadrato

La distribuzione chi quadrato (chi quadrato o $ {X ^ 2} $ - distribuzione) con gradi di libertà, k è la distribuzione di una somma dei quadrati di k variabili casuali normali standard indipendenti. È una delle distribuzioni di probabilità più utilizzate in statistica. È un caso speciale della distribuzione gamma.

La distribuzione del chi quadrato è ampiamente utilizzata dagli statistici per calcolare quanto segue:

  • Stima dell'intervallo di confidenza per una deviazione standard della popolazione di una distribuzione normale utilizzando una deviazione standard del campione.

  • Verificare l'indipendenza di due criteri di classificazione di più variabili qualitative.

  • Per controllare le relazioni tra variabili categoriali.

  • Studiare la varianza campionaria dove la distribuzione sottostante è normale.

  • Per testare le deviazioni delle differenze tra le frequenze attese e osservate.

  • Per condurre un test del chi-quadrato (un test di bontà di adattamento).

Densità di probabilità

La funzione di densità di probabilità della distribuzione Chi-quadrato è data come:

Formula

$ {f (x; k) =} $ $ \ begin {case} \ frac {x ^ {\ frac {k} {2} - 1} e ^ {- \ frac {x} {2}}} {2 ^ {\ frac {k} {2}} \ Gamma (\ frac {k} {2})}, & \ text {if $ x \ gt 0 $} \\ [7pt] 0, & \ text {if $ x \ le 0 $} \ end {cases} $

Dove -

  • $ {\ Gamma (\ frac {k} {2})} $ = Funzione gamma con valori in forma chiusa per il parametro intero k.

  • $ {x} $ = variabile casuale.

  • $ {k} $ = parametro intero.

Funzione di distribuzione cumulativa

La funzione di distribuzione cumulativa della distribuzione Chi-quadrato è data come:

Formula

$ {F (x; k) = \ frac {\ gamma (\ frac {x} {2}, \ frac {k} {2})} {\ Gamma (\ frac {k} {2})} \\ [7pt] = P (\ frac {x} {2}, \ frac {k} {2})} $

Dove -

  • $ {\ gamma (s, t)} $ = funzione gamma incompleta inferiore.

  • $ {P (s, t)} $ = funzione gamma regolarizzata.

  • $ {x} $ = variabile casuale.

  • $ {k} $ = parametro intero.