Statistiche - Modello Black-Scholes

Il modello Black Scholes è un modello matematico per controllare la variazione del prezzo nel tempo di strumenti finanziari come le azioni che possono essere utilizzate per calcolare il prezzo di un'opzione call europea. Questo modello presuppone che il prezzo degli asset pesantemente scambiati segua un moto browniano geometrico con deriva e volatilità costanti. In caso di stock option, il modello Black Scholes incorpora la variazione costante del prezzo del titolo sottostante, il valore temporale del denaro, il prezzo di esercizio dell'opzione e il suo tempo di scadenza.

Il modello Black Scholes è stato sviluppato nel 1973 da Fisher Black, Robert Merton e Myron Scholes ed è ancora ampiamente utilizzato nei mercati finanziari euporiani. Fornisce uno dei modi migliori per determinare prezzi equi delle opzioni.

Ingressi

Il modello Black Scholes richiede cinque input.

  • Prezzo di esercizio di un'opzione

  • Prezzo corrente delle azioni

  • Tempo alla scadenza

  • Tasso senza rischi

  • Volatility

Presupposti

Il modello Black Scholes assume i seguenti punti.

  • I prezzi delle azioni seguono una distribuzione lognormale.

  • I prezzi degli asset non possono essere negativi.

  • Nessun costo o tassa di transazione.

  • Il tasso di interesse privo di rischio è costante per tutte le scadenze.

  • È consentita la vendita allo scoperto di titoli con utilizzo dei proventi.

  • Nessuna opportunità di arbitraggio senza rischi presente.

Formula

$ {C = SN (d_1) - Ke ^ {- rT} Nd_2 \\ [7pt] \, P = Ke ^ {- rT} N (-d_2) - SN (-d_1) \\ [7pt] \, dove \\ [7pt] \, d_1 = \ frac {1} {{\ sigma \ sqrt T}} [ln (\ frac {S} {K}) + (r + \ frac {\ sigma ^ 2} {2} T)] \\ [7pt] \, d_2 = d_1 - \ sigma \ sqrt T} $

Dove -

  • $ {C} $ = valore dell'opzione call.

  • $ {P} $ = valore dell'opzione di vendita.

  • $ {S} $ = prezzo delle azioni.

  • $ {K} $ = prezzo di esercizio.

  • $ {r} $ = tasso di interesse privo di rischio.

  • $ {T} $ = Tempo per la maturità.

  • $ {\ sigma} $ = volatilità annualizzata.

Limitazioni

Il modello Black Scholes ha le seguenti limitazioni.

  • Applicabile solo alle opzioni europee in quanto le opzioni americane potrebbero essere esercitate prima della loro scadenza.

  • Dividendi costanti e tassi privi di rischio costanti potrebbero non essere affidabili.

  • La volatilità può fluttuare con il livello di domanda e offerta di opzioni, pertanto essere costante potrebbe non essere vero.