Statistiche - Stima dell'intervallo

La stima dell'intervallo è l'uso di dati campione per calcolare un intervallo di valori possibili (o probabili) di un parametro di popolazione sconosciuto, in contrasto con la stima puntuale, che è un numero singolo.

Formula

$ {\ mu = \ bar x \ pm Z _ {\ frac {\ alpha} {2}} \ frac {\ sigma} {\ sqrt n}} $

Dove -

  • $ {\ bar x} $ = media

  • $ {Z _ {\ frac {\ alpha} {2}}} $ = il coefficiente di confidenza

  • $ {\ alpha} $ = livello di confidenza

  • $ {\ sigma} $ = deviazione standard

  • $ {n} $ = dimensione del campione

Esempio

Problem Statement:

Supponiamo che uno studente che misura la temperatura di ebollizione di un certo liquido osservi le letture (in gradi Celsius) 102,5, 101,7, 103,1, 100,9, 100,5 e 102,2 su 6 diversi campioni del liquido. Calcola che la media campionaria sia 101,82. Se sa che la deviazione standard per questa procedura è di 1,2 gradi, qual è la stima dell'intervallo per la popolazione media con un livello di confidenza del 95%?

Solution:

Lo studente ha calcolato che la media campionaria delle temperature di ebollizione fosse 101,82, con deviazione standard $ {\ sigma = 0,49} $. Il valore critico per un intervallo di confidenza del 95% è 1,96, dove $ {\ frac {1-0,95} {2} = 0,025} $. Un intervallo di confidenza del 95% per la media sconosciuta.

$ {= ((101,82 - (1,96 \ volte 0,49)), (101,82 + (1,96 \ volte 0,49))) \\ [7pt] \ = (101,82 - 0,96, 101,82 + 0,96) \\ [7pt] \ = ( 100,86, 102,78)} $

Man mano che il livello di fiducia diminuisce, la dimensione dell'intervallo corrispondente diminuirà. Supponiamo che lo studente fosse interessato a un intervallo di confidenza del 90% per la temperatura di ebollizione. In questo caso, $ {\ sigma = 0,90} $ e $ {\ frac {1-0,90} {2} = 0,05} $. Il valore critico per questo livello è pari a 1,645, quindi l'intervallo di confidenza del 90% è

$ {= ((101,82 - (1,645 \ volte 0,49)), (101,82 + (1,645 \ volte 0,49))) \\ [7pt] \ = (101,82 - 0,81, 101,82 + 0,81) \\ [7pt] \ = ( 101.01, 102.63)} $

Un aumento della dimensione del campione ridurrà la lunghezza dell'intervallo di confidenza senza ridurre il livello di confidenza. Questo perché la deviazione standard diminuisce all'aumentare di n.

Margine di errore

Il margine di errore $ {m} $ di stima dell'intervallo è definito come il valore aggiunto o sottratto dalla media campionaria che determina la lunghezza dell'intervallo:

$ {Z _ {\ frac {\ alpha} {2}} \ frac {\ sigma} {\ sqrt n}} $

Supponiamo che nell'esempio sopra, lo studente desideri avere un margine di errore pari a 0,5 con il 95% di confidenza. Sostituendo i valori appropriati nell'espressione per $ {m} $ e risolvendo per n si ottiene il calcolo.

$ {n = {(1,96 \ times \ frac {1.2} {0,5})} ^ 2 \\ [7pt] \ = {\ frac {2,35} {0,5} ^ 2} \\ [7pt] \ = {(4,7 )} ^ 2 \ = 22,09} $

Per ottenere una stima dell'intervallo del 95% per il punto di ebollizione medio con una lunghezza totale inferiore a 1 grado, lo studente dovrà effettuare 23 misurazioni.