Statistica - Teorema di Chebyshev

La frazione di qualsiasi insieme di numeri che si trova entro k deviazioni standard di quei numeri della media di quei numeri è almeno

$ {1- \ frac {1} {k ^ 2}} $

Dove -

  • $ {k = \ frac {\ all'interno di \ numero} {\ standard \ deviation}} $

e $ {k} $ deve essere maggiore di 1

Esempio

Problem Statement:

Usa il teorema di Chebyshev per trovare quale percentuale dei valori cadrà tra 123 e 179 per un set di dati con media di 151 e deviazione standard di 14.

Solution:

  • Sottraiamo 151-123 e otteniamo 28, il che ci dice che 123 è 28 unità al di sotto della media.

  • Sottraiamo 179-151 e otteniamo anche 28, il che ci dice che 151 è 28 unità sopra la media.

  • Questi due insieme ci dicono che i valori tra 123 e 179 sono tutti entro 28 unità della media. Pertanto il "numero entro" è 28.

  • Quindi troviamo il numero di deviazioni standard, k, cui il "numero interno", 28, equivale dividendolo per la deviazione standard:

$ {k = \ frac {il \ all'interno di \ numero} {\ standard \ deviation} = \ frac {28} {14} = 2} $

Quindi ora sappiamo che i valori tra 123 e 179 sono tutti entro 28 unità della media, che è lo stesso di k = 2 deviazioni standard della media. Ora, poiché k> 1 possiamo usare la formula di Chebyshev per trovare la frazione dei dati che sono entro k = 2 deviazioni standard della media. Sostituendo k = 2 abbiamo:

$ {1- \ frac {1} {k ^ 2} = 1- \ frac {1} {2 ^ 2} = 1- \ frac {1} {4} = \ frac {3} {4}} $

Quindi $ {\ frac {3} {4}} $ dei dati si trova tra 123 e 179. E poiché $ {\ frac {3} {4} = 75} $% ciò implica che il 75% dei valori dei dati è compreso tra 123 e 179.