Statistiche - Distribuzione binomiale negativa

La distribuzione binomiale negativa è una distribuzione di probabilità del numero di occorrenze di successi e fallimenti in una sequenza di tracce indipendenti prima che si verifichi un numero specifico di successi. Di seguito sono riportati i punti chiave da notare su un esperimento binomiale negativo.

  • L'esperimento dovrebbe essere di x prove ripetute.

  • Ogni sentiero ha due possibili esiti, uno per il successo, un altro per il fallimento.

  • La probabilità di successo è la stessa in ogni prova.

  • L'output di una prova è indipendente dall'output di un'altra traccia.

  • L'esperimento dovrebbe essere eseguito fino a quando non si osservano r successi, dove r è menzionato in anticipo.

La probabilità di distribuzione binomiale negativa può essere calcolata utilizzando quanto segue:

Formula

${ f(x; r, P) = ^{x-1}C_{r-1} \times P^r \times (1-P)^{x-r} }$

Dove -

  • ${x}$ = Numero totale di prove.

  • ${r}$ = Numero di occorrenze di successo.

  • ${P}$ = Probabilità di successo ad ogni occorrenza.

  • ${1-P}$ = Probabilità di fallimento ad ogni occorrenza.

  • ${f(x; r, P)}$ = Probabilità binomiale negativa, la probabilità che un esperimento binomiale negativo x-trial risulti nel resimo successo nell'X-prova, quando la probabilità di successo in ogni prova è P.

  • ${^{n}C_{r}}$ = Combinazione di n elementi presi r alla volta.

Esempio

Robert è un giocatore di football. Il suo tasso di successo nel colpire l'obiettivo è del 70%. Qual è la probabilità che Robert colpisca il suo terzo gol al quinto tentativo?

Solution:

Qui la probabilità di successo, P è 0,70. Numero di tentativi, x è 5 e numero di successi, r è 3. Usando la formula di distribuzione binomiale negativa, calcoliamo la probabilità di raggiungere il terzo obiettivo al quinto tentativo.

${ f(x; r, P) = ^{x-1}C_{r-1} \times P^r \times (1-P)^{x-r} \\[7pt] \implies f(5; 3, 0.7) = ^4C_2 \times 0.7^3 \times 0.3^2 \\[7pt] \, = 6 \times 0.343 \times 0.09 \\[7pt] \, = 0.18522 }$

Quindi la probabilità di centrare il terzo gol al quinto tentativo è $ { 0.18522 }$.