Statistiche - Distribuzione multinomiale

Un esperimento multinomiale è un esperimento statistico e consiste in n prove ripetute. Ogni prova ha un numero discreto di possibili risultati. In ogni prova, la probabilità che si verifichi un particolare risultato è costante.

Formula

$ {P_r = \ frac {n!} {(N_1!) (N_2!) ... (n_x!)} {P_1} ^ {n_1} {P_2} ^ {n_2} ... {P_x} ^ {n_x }} $

Dove -

  • $ {n} $ = numero di eventi

  • $ {n_1} $ = numero di risultati, evento 1

  • $ {n_2} $ = numero di risultati, evento 2

  • $ {n_x} $ = numero di risultati, evento x

  • $ {P_1} $ = probabilità che si verifichi l'evento 1

  • $ {P_2} $ = probabilità che si verifichi l'evento 2

  • $ {P_x} $ = probabilità che si verifichi l'evento x

Esempio

Problem Statement:

Tre giocatori di carte giocano una serie di partite. La probabilità che il giocatore A vinca una partita è del 20%, la probabilità che il giocatore B vinca è del 30% e la probabilità che il giocatore C vinca è del 50%. Se giocano 6 partite, qual è la probabilità che il giocatore A vinca 1 partita, il giocatore B vinca 2 e il giocatore C ne vinca 3?

Solution:

Dato:

  • $ {n} $ = 12 (6 partite in totale)

  • $ {n_1} $ = 1 (vince il giocatore A)

  • $ {n_2} $ = 2 (vince il giocatore B)

  • $ {n_3} $ = 3 (vince il giocatore C)

  • $ {P_1} $ = 0,20 (probabilità che il giocatore A vinca)

  • $ {P_1} $ = 0,30 (probabilità che il giocatore B vinca)

  • $ {P_1} $ = 0,50 (probabilità che il giocatore C vinca)

Inserendo i valori nella formula, otteniamo:

$ {P_r = \ frac {n!} {(N_1!) (N_2!) ... (n_x!)} {P_1} ^ {n_1} {P_2} ^ {n_2} ... {P_x} ^ {n_x }, \\ [7pt] \ P_r (A = 1, B = 2, C = 3) = \ frac {6!} {1! 2! 3!} (0,2 ^ 1) (0,3 ^ 2) (0,5 ^ 3), \\ [7pt] \ = 0.135} $