Statistiche - Distribuzione gamma

La distribuzione gamma rappresenta le distribuzioni di probabilità continue della famiglia a due parametri. Le distribuzioni gamma sono concepite con generalmente tre tipi di combinazioni di parametri.

  • Un parametro di forma $ k $ e un parametro di scala $ \ theta $.

  • Un parametro di forma $ \ alpha = k $ e un parametro di scala inverso $ \ beta = \ frac {1} {\ theta} $, chiamato parametro di velocità.

  • Un parametro di forma $ k $ e un parametro medio $ \ mu = \ frac {k} {\ beta} $.

Ogni parametro è un numero reale positivo. La distribuzione gamma è la distribuzione di probabilità di entropia massima guidata dai seguenti criteri.

Formula

$ {E [X] = k \ theta = \ frac {\ alpha} {\ beta} \ gt 0 \ e \ è \ fixed. \\ [7pt] E [ln (X)] = \ psi (k) + ln (\ theta) = \ psi (\ alpha) - ln (\ beta) \ e \ è \ fisso. } $

Dove -

  • $ {X} $ = Variabile casuale.

  • $ {\ psi} $ = funzione digamma.

Caratterizzazione usando shape $ \ alpha $ e rate $ \ beta $

Densità di probabilità

La funzione di densità di probabilità della distribuzione Gamma è data come:

Formula

$ {f (x; \ alpha, \ beta) = \ frac {\ beta ^ \ alpha x ^ {\ alpha - 1} e ^ {- x \ beta}} {\ Gamma (\ alpha)} \ dove \ x \ ge 0 \ e \ \ alpha, \ beta \ gt 0} $

Dove -

  • $ {\ alpha} $ = parametro di posizione.

  • $ {\ beta} $ = parametro di scala.

  • $ {x} $ = variabile casuale.

Funzione di distribuzione cumulativa

La funzione di distribuzione cumulativa della distribuzione Gamma è data come:

Formula

$ {F (x; \ alpha, \ beta) = \ int_0 ^ xf (u; \ alpha, \ beta) du = \ frac {\ gamma (\ alpha, \ beta x)} {\ Gamma (\ alpha)} } $

Dove -

  • $ {\ alpha} $ = parametro di posizione.

  • $ {\ beta} $ = parametro di scala.

  • $ {x} $ = variabile casuale.

  • $ {\ gamma (\ alpha, \ beta x)} $ = funzione gamma incompleta inferiore.

Caratterizzazione usando la forma $ k $ e la scala $ \ theta $

Densità di probabilità

La funzione di densità di probabilità della distribuzione Gamma è data come:

Formula

$ {f (x; k, \ theta) = \ frac {x ^ {k - 1} e ^ {- \ frac {x} {\ theta}}} {\ theta ^ k \ Gamma (k)} \ dove \ x \ gt 0 \ e \ k, \ theta \ gt 0} $

Dove -

  • $ {k} $ = parametro di forma.

  • $ {\ theta} $ = parametro di scala.

  • $ {x} $ = variabile casuale.

  • $ {\ Gamma (k)} $ = funzione gamma valutata in k.

Funzione di distribuzione cumulativa

La funzione di distribuzione cumulativa della distribuzione Gamma è data come:

Formula

$ {F (x; k, \ theta) = \ int_0 ^ xf (u; k, \ theta) du = \ frac {\ gamma (k, \ frac {x} {\ theta})} {\ Gamma (k )}} $

Dove -

  • $ {k} $ = parametro di forma.

  • $ {\ theta} $ = parametro di scala.

  • $ {x} $ = variabile casuale.

  • $ {\ gamma (k, \ frac {x} {\ theta})} $ = funzione gamma incompleta inferiore.